Главная arrow Все публикации на сайте arrow Принцип противоречия как аксиома:
Принцип противоречия как аксиома: | Печать |
Автор Юнусов А.Т.   
27.01.2017 г.
к вопросу о происхождении и статусе «общих начал» науки в философии Аристотеля
 
 

В статье рассматривается принцип противоречия в его изначальном статусе в контексте философии Аристотеля – в качестве одного из «общих начал» всех наук – и ставится вопрос о способе функционирования общих начал в рамках модели «доказательной науки» Аристотеля. На основе анализа учения «Второй Аналитики» и «Метафизики» делается вывод о том, что учение Аристотеля о применении общих начал содержит в себе противоречие, и предлагается историческое объяснение причин этого противоречия на основе гипотезы о происхождении «первых начал» философии Аристотеля из аксиоматических начал античной математики.

 

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: Аристотель, Евклид, античная философия, античная логика, античная математика, аксиомы, общие начала, общие понятия, принцип противоречия, принцип исключенного третьего.

 

ЮНУСОВ Артем Тимурович – аспирант кафедры Истории зарубежной философии Философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

 

Цитирование: Юнусов А.Т. Принцип противоречия как аксиома: к вопросу о происхождении и статусе «общих начал» науки в философии Аристотеля // Вопросы философии. 2017. № 1.


 

 

Статус принципа противоречия (далее – ПП) в современной логике и философии вполне однозначен: в лице этой пропозиции мы имеем дело с базовым для классической логики логическим принципом [Бочаров, Маркин 2008, 274–275; Smith 2013, 101]. Иными словами, речь идет о фундаментальном принципе определенных логических систем, который задает собой одно из правил предписывания пропозициям истинности и ложности и от которого в случае построения других логических систем даже можно вовсе отказаться [Бочаров, Маркин 2008, 277–284].

Однако если мы вернемся к той интеллектуальной традиции, в которой ПП был впервые сформулирован – к философии Аристотеля, – то мы обнаружим, что понимание этого принципа в ее рамках весьма отличается от современного.

Наиболее значимые обсуждения ПП мы находим в IV книге «Метафизики» и в первой книге «Второй Аналитики», причем текст «Второй Аналитики» в смысле понимания сущности ПП первичен[1]. Поэтому стоит кратко указать, как именно ПП вписан в аристотелевское учение о доказательстве, которому посвящена «Вторая Аналитика».

Доказательство (πδειξις), по словам Аристотеля, представляет собой научный силлогизм (συλλογισμς πιστημονικς), то есть силлогизм, с помощью которого мы получаем знание (APo. I.2.71b17–19). Как во всяком силлогизме в нем три термина (APr. I.25.41b36–37), две посылки (42a32–33) и одно заключение (42b4–5); доказательство происходит по одной из трех фигур (APr. I.23.40b20–22) и т.д. Отличие научного, то есть доказательного силлогизма от всех прочих – в характере посылок. На его посылки наложены многочисленные дополнительные условия, которые Аристотель суммирует в формулировке, утверждающей, что посылки должны быть «первыми началами» (πρται ρχα) доказательства (APo. I.2.72a5–7).

Нас интересует именно понятие начал. Прежде всего, следует зафиксировать, что начала доказательства – это, по словам Аристотеля, посылки (προτσεις) доказывающего силлогизма (72a7–9). Аристотель производит несколько подразделений начал во «Второй Аналитике»; нас пока интересует только одно из них – подразделение на общие (κοινα) и собственные (διαι) начала. Один из главных тезисов философии науки Аристотеля заключается в том, что всякая наука исследует и постигает только некий один род сущего (I.28.87a38): арифметика – числа, геометрия – фигуры (I.10.76b3–5), физика – движущиеся тела (Meta. VI.1.1026a13–14) и т.д. Будучи жестко прикреплены каждая к своему роду, науки строго отделены друг от друга, и переход от доказательства положения одной науки к доказательству положения другой науки невозможен (APo. I.7.75a38–39). Всякая наука доказывает свои положения из определенного и свойственного только ей набора недоказуемых принципов – это как раз и есть собственные начала доказательства каждой науки (32.88b27–29). Однако помимо таких начал Аристотель допускает существование так называемых общих начал (κοινα ρχα), также называемых им аксиомами (ξιματα). Эти начала в равной степени используются во всех науках (I.11.77a26–27), либо хотя бы в нескольких из них одновременно (например, 7.75b2–3). Конкретный способ этого использования, впрочем, остается за кадром. Аристотель устойчиво воспроизводит всего три примера таких начал: 1) тезис «если от равных [количеств] отнять равные [количества], то останутся равные [количества]» (принцип равенства остатков – далее ПРО) 2) принцип исключенного третьего (далее – ПИТ) и 3) ПП.

 

Проблема функции общих начал

Чтобы лучше понять, чем для Аристотеля являются указанные «общие начала», нам необходимо разобраться, как и для чего он их использует. Однако сделать это не так-то просто. Аристотель устойчиво связывает «общие начала» с понятиями «доказательства» и «научного знания», однако характерной чертой этих начал оказывается то, что Аристотель нигде не указывает, какое именно применение они должны получать в рамках доказательного знания. Он посвящает большую часть IV книги «Метафизики» обсуждению ПП (гл. 3–6) и ПИТ (гл. 7) и не устает подчеркивать значимость аксиом для человеческого знания (APo. I.2.72a187–18; Meta. IV.3.1005b15–16; 32–34), однако не находит места, чтобы более или менее подробно обсудить причины и суть этой значимости. Его замечания о месте аксиом в построении доказательства весьма скудны и малопонятны: в разных местах он говорит, что доказательство должно вестись «через общие [начала]», или «в соответствии с общими [началами]» (δι τν κοινν, APo. I.10.76b10; I.32.88b3) и что общие начала должны быть тем, «из чего» (ξ ν, I.7.75a42; b2; I.10.76b14; b22; I.11.77a27) мы доказываем требуемые положения.

Два указанных типа замечаний соответствуют двум типам основных гипотез о том, как Аристотель представляет себе употребление аксиом в научной практике. Описание общих начал как того, «в соответствии с чем» происходит доказательство, наводит на мысли о регулятивном использовании аксиом, то есть их использовании в качестве логических законов, ограничивающих собой ход всякого доказательства и не фигурирующих в ходе доказательств непосредственно в качестве положений, из которых выводятся следствия. С другой стороны, их описание как того, «из чего» ведется доказательство, напротив, кажется, свидетельствует в пользу того, что они являются посылками доказательства[2], то есть как раз теми положениями, которые служат непосредственным основанием для выведения силлогистического заключения.

Свидетельства текстов Аристотеля находятся скорее на стороне второй гипотезы. Прежде всего, Аристотель четко определяет «начало» доказательства как «неопосредованную посылку» (APo. I.2.72a7), что подразумевает, что все начала, вне зависимости от их конкретного вида, должны являться первыми посылками использующихся в доказательстве умозаключений. Поскольку аксиомы – это один из видов начал, они должны быть посылками в том числе.

Вместе с тем это проблематично. Непонятно, как положение, например, вида «невозможно, чтобы одно и то же было вместе присуще и не присуще и одному и тому же в одном и том же отношении» (Meta. IV.3.1005b19–20) может выступать посылкой в каком-либо доказательстве вообще. Основных препятствий этому два: 1) такое предложение не соответствует форме посылок силлогизма и 2) неясно, как подобную посылку можно использовать в доказательстве.

1) Всякая посылка доказательства у Аристотеля должна, говоря его собственными словами, быть высказыванием «чего-то одного о чем-то одном» (APo. I.2.72a8–10), то есть представлять собой высказывание предиката о субъекте. Типичный пример посылки доказательства: «быть животным присуще всякому человеку». Нетрудно заметить, что ПП, как его формулирует сам Аристотель, не укладывается в форму подобного субъект-предикативного высказывания.

На самом деле это не очень существенная проблема. Аристотель проявляет удивительную гибкость в своей готовности формулировать как нечто «одно» (то есть как единый термин) то, что одним вовсе не кажется. Так, в главе 32 книги I «Первой Аналитики», специально посвященной проблеме преобразования естественных доводов в силлогистическую форму, Аристотель прямо утверждает (47a24–31), что рассуждению «(1) Сущность не уничтожается через уничтожение того, что не есть сущность; но (2) через уничтожение частей уничтожается и то, что из них состоит; следовательно, (3) часть сущности необходимо есть сущность» можно придать строгую силлогистическую форму, если добавить к нему определенные посылки (хотя он и не говорит, что это за посылки и как в точности это сделать).

Таким образом, форма посылки оказывается не столь существенной проблемой: в действительности, по Аристотелю, почти любая пропозиция может быть преобразована в формат силлогистической посылки – в том числе и каждая из упомянутых им аксиом. В случае ПП результат такого преобразования мог бы иметь следующий вид: «Необходимо, что “быть вместе присущим и не присущим в одном и том же отношении” не присуще ни одному “предмету”».

2) Куда большую проблему представляет другой вопрос: как вообще возможно использовать полученную таким образом посылку-аксиому в доказательстве? И в каком доказательстве?

В данном вопросе каждая из трех приводимых в пример Аристотелем аксиом обладает своими особенностями. I. Использование ПП в качестве посылки доказательства, фактически, исключено: в 11 главе I книги «Второй Аналитики» (APo. I.11.77a10–12) Аристотель сам говорит, что при доказательстве никто не принимает ПП в качестве посылки, если только он не хочет получить заключение такого же вида[3]. II. ПИТ, по словам Аристотеля, используется в качестве «предположения» в доказательствах через приведение к невозможному[4] (77a22–24). Однако, во-первых, Аристотель избегает называть «предположения» гипотетических умозаключений «посылками», а во-вторых, умозаключения «из предположения», и в частности, доказательство через приведение к невозможному считаются у Аристотеля «менее совершенными», чем прямые доказательства, поскольку невозможны без них (APr.I.23.41a21–b5). В целом их можно считать доказательствами только в нестрогом смысле этого слова, и, соответственно, им, судя по всему, нет места в науке «Второй Аналитики». Если это так, то мы не можем рассматривать указанное замечание Аристотеля как свидетельство о том, что ПИТ используется в качестве посылки в каком-либо доказательстве; при этом его применение в этом качестве в категорическом силлогизме невозможно ровно настолько же, насколько и применение в нем ПП. III. ПРО, в свою очередь, допускает и, более того, предполагает его использование в качестве посылки доказательства (Ι.24.41b13–22). Однако статус этого принципа среди прочих аксиом Аристотеля в известном смысле ущербен. Он не удовлетворяет со всей строгостью тем критериям, в соответствии с которыми Аристотель определяет общие начала: не является общим для всех наук без исключения (ΑPo. I.11.77a26–27), не представляет собой положение, без знания которого невозможно ничего познать (I.2.72a16–17). Говоря об «общих аксиомах» (I.10 76b14), Аристотель, хотя иногда и приводит в пример ПРО, однако прежде всего имеет в виду ПП и ПИТ. А значит, именно на них мы прежде всего должны ориентироваться при попытке понять, как должны функционировать положения, в собственном смысле являющиеся общими началами Аристотеля. Но эти два принципа, как было рассмотрено выше, в качестве посылок доказательства оказываются бесполезны, и сам Аристотель это с готовностью признает[5].

Таким образом, исследование позиции Аристотеля по вопросу о способе использования общих начал доказательства в построении научного знания приводит нас к странному заключению: эти начала не могут быть посылками на теоретических основаниях (поскольку те из этих начал, которые Аристотель считает аксиомами в первую очередь, не могут быть использованы в этой роли в рамках предписываемого Аристотелем построения доказательства), и не могут быть логическими законами – на текстуальных (поскольку большая часть свидетельств текстов Аристотеля говорит именно о том, что они должны быть посылками). Иными словами, складывается ощущение, что аксиомы должны быть посылками, но само теоретическое устройство системы доказательства «Второй Аналитики» препятствует тому, чтобы они ими были.

Все это выглядит как теоретический crux, удовлетворительное решение которого в рамках дошедших до нас текстов аристотелевского корпуса невозможно; более того, я склонен полагать, что мы действительно имеем здесь дело с неразрешимым внутри системы Аристотеля теоретическим противоречием. Однако в то же время я полагаю, что мы вполне можем добиться понимания причин и истоков этого противоречия. Но для этого нам придется выйти за пределы Corpus Aristotelicum.

 

Аристотель и античная геометрия

В 1935 г. Генри Десмонд Ли в первой части статьи «Геометрический метод и описание первых начал у Аристотеля» [Lee 1935], опираясь на работы одного из крупнейших исследователей античной математики Томаса Хита [Heath 1921; Heath 1926], сопоставил первые начала (πρται ρχα) Аристотеля с началами (στοιχεα) книги I «Начал» Евклида и пришел к выводу, что три вида начал Аристотеля находят точное отражение в трех видах начал Евклида.

Прежде всего, определения (ρισμο, реже ροι) Аристотеля эквиваленты определениям (ροι) Евклида: учитывая совпадение терминологии и общую для обоих начал функцию указания сути обсуждаемых в доказательстве предметов, Ли не считает необходимым доказывать их сходство сколько-то подробно.

Далее, гипотезы (ποθσεις) Аристотеля находят отражение в постулатах (ατματα) Евклида. Их сходство менее очевидно, и чтобы установить связь между ними, Ли совершает несколько дополнительных мысленных ходов. Во-первых, вслед за Хитом [Heath 1921, 358; Heath 1926, 191], он считает, что 4-й (утверждающий, что все прямые углы равны друг другу) и 5-й (утверждающий что любые две линии, между которыми нельзя провести третью так, чтобы она образовала прямые углы с обеими, пересекаются) постулаты являются привнесением самого Евклида: 5-й постулат нужен ему для того, чтобы привести к удовлетворительному виду теорию параллельных прямых, которая до него, по косвенным свидетельствам[6], содержала порочный круг; 4-й постулат необходим для того, чтобы мог функционировать 5-й [Heath 1921, 375]. Таким образом, доевклидовой геометрии должны были быть известны только три первых постулата «Начал». В свою очередь, эти постулаты представляют собой постулаты о построимости – отрезков, линий и окружностей соответственно. Как таковые они весьма похожи на «гипотезы» Аристотеля, которые, согласно прочтению Хита и Ли, являются утверждениями, постулирующими существование объектов, рассмотрением которых должна заниматься наука, в частности, в случае геометрии, точек и линий (APo.I.10.76b5). Утверждения о возможности построить определенные геометрические объекты при желании можно интерпретировать как утверждения об их существовании, и если доевклидовой геометрии (а значит, и Аристотелю) были известные только первые три постулата Евклида, то кажется вполне правдоподобным, что Аристотель, вводя в свою теорию построения научного знания такие начала, как «гипотезы», опирался на знакомую ему практику геометров, использующих «постулаты» при построении геометрических доказательств. Дополнительное подкрепление этому предположению дает тот факт, что, по словам Ли, гипотезы и постулаты имеют в двух системах одну и ту же функцию: подобно тому как у Аристотеля существование базовых субъектов рода необходимо предположить, а существование всех остальных субъектов рода должно быть доказано (APo.I.10.76a32–36), у Евклида постулирование возможности построения базовых геометрических фигур служит тому, чтобы с их помощью доказать возможность построения всех прочих фигур.

Наконец, общие понятия (κοινα ννοιαι) Евклида можно приравнять к аксиомам, или общим началам (κοινα ρχα) Аристотеля. Сходство терминологии очевидно, и оно многократно подчеркивается, с одной стороны, тем, что Аристотель иногда называет свои аксиомы κοινα δξαι, «общие мнения» (Meta. III.2.996b28; 997a20), что уже совсем близко к «общим понятиям», а с другой – тем, что комментарий Прокла на первую книгу «Начал» использует как общепринятое обозначение для того, что в дошедшем до нас тексте Евклида обозначено как «общие понятия», как раз используемый Аристотелем термин «аксиомы» (Comm. 75.27–77.6; 178.1–185.29; особенно 194.4–9)[7]. Однако куда более веским аргументом служит тот факт, что третье из общих понятий Евклида прямо совпадает с одним из частых примеров аксиом Аристотеля – с ПРО.

Столь точное соответствие между теорией Аристотеля и научной практикой Евклида, по мысли Ли, неслучайно. Математика, подобная изложенной в «Началах» теории, существовала задолго до Евклида: у нас хватает свидетельств о том, что подобные «Началам» произведения существовали и до Евклида[8], и современные исследователи считают, что даже сами «Начала» Евклида в значительной степени написаны на основе более ранних математических трактатов[9]. Таким образом, мы должны предполагать влияние на Аристотеля при создании им теории научного знания современной ему математической науки – не идентичной той геометрии, которую мы находим у Евклида, однако в существенной степени похожей на нее.

Со времен статьи Ли вопрос о соотношении аксиоматического устройства античной математики и теории начал Аристотеля привлекал внимание исследователей крайне редко. За исключением фундаментального труда Томаса Хита «Математика у Аристотеля» [Heath 1949], который не содержит принципиальных нововведений в этом вопросе по сравнению с уже упомянутыми его работами, можно назвать всего два значимых исследования, которые напрямую касаются этой темы: работы Курта фон Фритца [Fritz 1955] и Арпада Cабо [Szabó 1978].

Статья Фритца довольно убедительно реконструирует путь развития греческой математики в целом, от элементарных доказательств, связанных с наглядностью – прежде всего путем наложения – к сложным доказательствам, принципиально дистанцирующимся от всякой наглядности [Fritz 1955, 94–95]. Однако в плане детального анализа возникновения и развития различных типов математических начал работа выполнена куда слабее – хотя бы потому, что зачастую одни суждения Фритца по этому вопросу противоречат другим его же суждениям. Для демонстрации этого достаточно будет одного наиболее существенного примера. Общая картина истории аксиоматических начал, по Фритцу, такова. Ко времени Аристотеля в математике имело хождение три типа начал: 1) общие аксиомы, 2) «истинные» определения (то есть определения в том смысле, в каком их понимали Евклид и Аристотель) и 3) начала, в действительности соответствующие общим началам и постулатам Евклида, но обозначаемые древними математиками наряду со вторыми видом начал как «определения» [Ibid., 98]. Однако уже в следующем абзаце Фритц говорит, что разработка теории начал и разделение начал на различные виды – это целиком заслуга Аристотеля, поскольку до него никакого ясного принципа деления начал в греческой науке не было. Последний тезис вынуждает Фритца утверждать, что Аристотель был первым, кто использовал термин ξιματα в смысле «общих начал», – именно этим Фритц хочет объяснить тот факт, что в математической традиции после Аристотеля и вплоть до самой поздней античности термин «аксиомы» в аристотелевском смысле не встречается [Ibid., 33, 96]. Однако это ставит его перед необходимостью объяснить, почему Аристотель утверждает, что именно то, что он зовет аксиомами, называется аксиомами и у настоящих математиков. Фритц согласен, что Аристотель не мог сам этого придумать, однако считает, что утверждение Аристотеля обладает только формальной правильностью. Дело в том, считает Фритц, что термин ξιματα в современной Аристотелю математике обозначал вообще любое начало доказательства, а раз так, то вполне корректно со стороны Аристотеля говорить, что, например, ПРО математики называют аксиомой, просто потому, что математики называют аксиомами все начала вообще. Нетрудно заметить, что это предположение основывается на приписывании Аристотелю либо глупости, либо удивительного невежества в области математики, притом что сам же Фритц считает, что Аристотель имел самые обширные знания в этой области. Таким образом, интерпретация Фритцем истории развития начал доказательства выглядит крайне неубедительно.

Исследование Сабо дает намного больше для понимания общей истории развития понятия начала в греческой математике и философии. Весьма убедительным выглядит предположение о том, что термины для обозначения начал – πθεσις, ατημα, αξωμα, λμμα – в действительности, во-первых, были на ранних этапах развития греческой математики практически абсолютно взаимозаменяемы [Szabó 1978, 220–226], а во-вторых, ведут свое происхождение из того или иного рода диалектической практики. Впрочем, здесь же таится слабое место интерпретации Сабо. Дело в том, что он не готов остановиться на тезисе о наличии исторической связи математики с диалектикой, но настаивает на куда более радикальной идее – на том, что вся греческая аксиоматическая математика происходит от философии элеатов и, более того, на раннем этапе своего развития являлась не более чем ветвью элеатской диалектики [Ibid., 256–257]. Исходя из этого Сабо выстраивает и объяснение исторического подразделения начал в древнейшей греческой математике: по его мнению, до Аристотеля начала делились на:

1) гипотезы – которым соответствуют определения Аристотеля и Евклида (утверждения, с которыми собеседник согласен);

2) постулаты – которые сохранили это название у Евклида, но не у Аристотеля (утверждения, которые постулируются вопреки согласию собеседника и касаются возможности движения геометрических предметов, поскольку для построения фигур, которые задаются тремя первыми постулатами Евклида, а именно отрезка, линии и окружности, нужно представить себе мысленное движение сначала точки, затем отрезка по прямой и, наконец, отрезка вокруг своей оси; тогда как элеаты, в среде которых зарождается математика, не были готовы признать какое-либо движение вообще);

3) аксиомы – которые, напротив, сохранили свое название у Аристотеля, но не у Евклида (утверждения, которые также постулируются вопреки согласию собеседника, однако, в отличие от постулатов, касаются равенства частей и целого; по мысли Сабо, элеаты не могли согласиться с подобными утверждениями, так как не признавали в своей онтологии наличия у Бытия частей).

Впоследствии, однако, истинный смысл этого трехчастного деления начал был утрачен, и более поздние математики и философы (начиная с Аристотеля), имевшие дело с готовым делением, но не понимавшие его основания, пытались осмыслить его по-своему [Ibid., 302–304]. Несмотря на то, что это крайне остроумная интерпретация, она целиком держится на тезисе, что математика берет свои начала в диалектике элеатов, а в него очень трудно поверить.

Таким образом, можно сказать, что интерпретация вопроса о связи начал Аристотеля и Евклида, предложенная Ли, во многом сохраняет актуальность до настоящего времени. Именно к ней возвращается автор одной из недавних работ на эту тему, Ричард Мак-Кирахан [McKirahan 1992, 134–143]. В целом взгляд Мак-Кирахана на историческую связь аксиоматических начал Аристотеля и Евклида можно описать следующим образом. Корни «гипотез» Аристотеля действительно уходят в современную ему практику геометрической науки, успехами которой он был впечатлен: стремясь описать идеал доказательного знания, который был бы применим для всех наук без исключения, он обобщил понятие используемых в конкретной науке начал таким образом, чтобы оно могло удовлетворять всем наукам вообще. Так из постулатов о построимости у него получились гипотезы существования. Представление об аксиомах как об утверждениях, использующихся более чем в одной области знания, также достались Аристотелю от математики, свидетельством чему является упоминаемый им в числе аксиом ПРО. Его взгляды на определения также подверглись определенному влиянию геометрических практик, однако в большей степени они обязаны своим формированием философской среде Академии, где вопросам определения всегда уделялось значительное внимание.

Я полагаю, что точка зрения Ли и Мак-Кирахана на соотношение начал Аристотеля и Евклида в основном вполне верна, однако они не делают из нее всех возможных выводов. Между тем именно предложенная ими картина влияния античной геометрии на Аристотеля, на мой взгляд, является ключом к решению стоящей перед нами проблемы использования общих начал в модели аристотелевской науки.

Мак-Кирахан прямо говорит об обобщении, которое Аристотель осуществляет в случае постулатов геометрии: желая расширить сферу применения этого типа начал с одной науки на все возможные, он формулирует гипотезы, соответствующие в его универсальной модели науки геометрическим постулатам, как недоказуемые утверждения о существовании, рассматривая тезис о геометрической построимости как частный случай утверждения о существовании. Однако Мак-Кирахан нигде не говорит, что в случае аксиом Аристотель проделывает точно тот же самый прием: взяв за основу реально использующийся в практике конкретных наук (в данном случае – арифметики и геометрии) вид начал (что видно из его собственного примера ПРО как одной из аксиом), он обобщает заложенный в его основание принцип (начало должно использоваться в нескольких науках), доводя его до максимально возможной универсальности (начало должно использоваться во всех науках), и затем ставит ему в соответствие принципиальные для его собственной системы положения (ПП и ПИТ). Если мы учтем эту генеалогию общих начал Аристотеля, то многое в его учении об аксиомах становится ясным.

В самом деле, большинство проблем в доктрине общих начал Аристотеля связано с тем, что те характеристики, которые он приписывает одним аксиомам, оказываются неприменимы к другим. Так, аксиомы должны быть применимы во всех науках вообще, но не для всех из них это оказывается возможным; без знания аксиом в рамках науки должно быть невозможно получить никакого дальнейшего знания, но нельзя сказать, чтобы для каждого из указанных Аристотелем общих начал это было верно; аксиомы, по всей видимости, должны использоваться в доказательстве в качестве посылок (см. выше), однако большинство (но не все!) из приводимых Аристотелем примеров аксиом не могут быть использованы подобным образом в доказательстве. И во всех случаях линия деления пролегает одинаково: между ПП и ПИТ с одной стороны и ПРО с другой. Первые два начала общи всем наукам, необходимы для возможности познания чего-либо вообще и, судя по всему, не используются в качестве посылок в ходе доказательства. Тогда как ПРО является общим только для наук, имеющих дело с количествами; в рамках этих наук вполне возможно доказать некоторые положения (и даже большинство положений) без его использования; наконец – и это самое существенное для нынешнего рассуждения – он может быть использован и используется в качестве посылки в ходе доказательства, о чем свидетельствует и сам Аристотель (см. выше). Стоит добавить к этому перечню различий указание, что ПРО является настоящей аксиомой, применявшейся в современной Аристотелю математике, а ПП и ПИТ – это, вне всякого сомнения, положения авторства самого Аристотеля. Мы, я думаю, можем считать, что нашли источник этих противоречий.

Чтобы окончательно разобраться в ситуации, мы можем дополнить историческое описание Мак-Кирахана некоторыми деталями. Итак, Аристотель формулировал свой универсальный идеал построения научного знания с опорой на примеры из единственной науки, которая в его времена демонстрировала впечатляющую методологическую стройность и успешность, – из математики. Соответственно, один из наиболее существенных моментов своей теории – учение о началах доказательства – он развивал по аналогии с соответствующими элементами математической практики доказательства. Его ориентация именно на математические начала могла быть в существенной степени задана и тем, что первым и главным видом таких начал в математике были определения, традиционный интерес к которым был характерен для философских исканий Академии в целом – этот род начал Аристотель мог принять практически без всякого существенного изменения. Однако два оставшиеся типа начал были специфичны именно для математики и не могли быть включены в общую теорию построения любой науки без изменения. Утверждения о возможности построения фигур Аристотель обобщил до применимых в рамках любой науки утверждений о существовании, а общие для нескольких областей математики аксиомы – до общих для всех наук (то есть для всего сущего) законов бытия. При этом в случае математики постулаты и общие понятия употреблялись в качестве непосредственных посылок доказательства, поэтому при описании своих начал он по аналогии с известными ему геометрическими недоказуемыми положениями предусмотрел для своих гипотез и аксиом точно такую же роль; отсюда – данное в самом начале «Второй Аналитики» общее определение, согласно которому всякое начало – это неопосредованная, то есть недоказуемая, посылка доказательства (APo. I.2.72a7; ср. 33.88b18–19). Однако на практике вышло, что ни тот, ни другой тип полученных в результате обобщения начал не могут быть включены в общий ход разработанной Аристотелем модели доказательства в качестве посылок. В том, что касается гипотез, то есть постулатов о существовании, остается большим вопросом, как именно Аристотель представлял себе их функционирование. Однако практически все исследователи сходятся в том, что самостоятельное, отдельное от доказательства свойств рассматриваемого предмета доказательство существования этого предмета в рамках силлогистического доказательства «Второй Аналитики» оказывается невозможным[10], хотя сам Аристотель склонен на протяжении всего текста настаивать на необходимости доказательства существования предметов, о которых ведется доказательство (I.1.71a11–17; 2.72a21–24; 10.76a32-36; 76b5–11; II.1.89b31–35; 7.92b4–8; 10.93b32–35). Что же касается аксиом, то Аристотель, судя по всему, достаточно быстро осознал, что использование их в качестве посылок невозможно, и столкнулся с необходимостью обратить внимание читателя на этот факт – именно в этом смысле я склонен интерпретировать роль обсуждавшейся выше главы 11 книги I «Второй Аналитики».

Это позволяет нам решить сформулированную выше проблему, заключающуюся в том, что текст «Второй Аналитики» дает все основания считать, что аксиомы являются посылками доказательства, но само устройство описываемой в нем теоретической системы препятствует тому, чтобы они ими были. Действительно, согласно предлагаемой интерпретации, аксиомы, по замыслу Аристотеля, должны были быть посылкам доказательства, поскольку именно такова была роль аксиом в математических доказательствах, известных Аристотелю. Однако те действительные общие аксиомы, которые Аристотель сформулировал на основании обобщения своего представления об аксиомах математики, – ПП и ПИТ – оказались не способны играть роль посылок доказательства, в результате чего Аристотель вынужден был отвести им роль общих законов мышления. Иными словами, нам следует признать, что в рамках теории доказательства Аристотеля учение об аксиомах содержит противоречие, которое мы не можем разрешить с теоретической позиции, однако вполне способны объяснить исторически[11].

Все это подводит нас к выводу, что общие начала философии вообще и ПП в частности у Аристотеля действительно функционируют в качестве принципов, задающих границы логической системы (все свидетельства самого Аристотеля об их функционировании в качестве посылок в таком случае следует интерпретировать как первоначальное намерение Аристотеля провести как можно более полную аналогию его аксиом с математическими). Однако, если данная в настоящей статье картина верна, то из нее видно, что подобное функционирование не является результатом продуманного теоретического замысла Аристотеля. Напротив, аксиомы в известном смысле оказываются логическими принципами вопреки его замыслу. В этом смысле первоначальный замысел Аристотеля о предполагаемой роли аксиом в его философии можно считать теоретическим поражением; впрочем, даже в этом случае невозможно не восхищаться победоносностью этого поражения, из которого исторически вырастает вся будущая классическая логика.

 

Источники и переводы – Primary Sources and Translations

Barnes, Jonathan (1993), Aristotle’s Posterior Analytics, translated with a commentary by Jonathan Barnes, Clarendon Press, Oxford.

Friedlein, Gottfried (1873), Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ex recognitione Godofredi Friedlein, Teubner, Leipzig.

Heath, Thomas Little (1926), The Thirteen Books of Euclid's Elements, Cambridge University Press, Cambridge.

Ross, William David (1949), Aristotle’s Prior and Posterior Analytics, Oxford University Press, Oxford.

Ross, William David (1975), Aristotle’s Metaphysics, A revised text with introduction and commentary, Vol. Ι: A–E, Clarendon Press, Oxford.

Striker, Gisela (2010), Aristotle's Prior Analytics book I, Clarendon Press, Oxford.

 

Литература

Бочаров, Маркин 2008 – Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008.

Ван дер Варден 1959 – Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: ГИФМЛ, 1959.

Ссылки на иностранных языках см. в разделе References



 

Примечания

[1] «Метафизика» предполагает его уже известным: в частности, подробное обсуждение того, что именно собой представляют «аксиомы» (одной из которых является ПП) и каково их место в науках, дается именно во «Второй Аналитике»; «Метафизика» на сей счет ограничивается самыми краткими замечаниями.

[2] Τ ξ ν – достаточно стандартное для нотации Аристотеля обозначение посылок доказательства (например, APo. I.2.71b20, I.10.76b10).

[3] То есть поскольку научные доказательства производятся по 1-й фигуре, а в 1-й фигуре предикат большей посылки будет одновременно предикатом и заключения, термин «быть вместе присущим и не присущим в одном и том же отношении» с необходимостью переходит в заключение; иными словами, мы можем только вывести по 1-й фигуре, что это свойство – свойство непротиворечивости – есть у какого-то конкретного предмета или вида предметов, что является не слишком плодотворным выводом.

[4] Объяснение этого утверждения можно найти в APr. I.23.41a23–32 и 44.50a16–38; см. подробную реконструкцию того, как используется ПИТ в доказательствах через приведение к невозможному: [Ross 1949, 371–372; Striker 2010, 174–177].

[5] [McKirahan 1992, 70] высказывает мысль, что в случае главы 11 книги I «Второй Аналитики» в рассуждении Аристотеля «общие начала могут использоваться в принципе, хотя почти никогда не используются на практике», следует все же заострить внимание не на второй части, а на первой: якобы сам факт того, что они могут использоваться как посылки, недвусмысленно указывает, что они являются посылками. Однако это крайне уязвимый тезис: Аристотель постоянно подчеркивает важность и фундаментальность общих начал для доказательства; если они оказываются сведены к неупотребимым (и таким образом, практически бесполезным) посылкам, то от их важности ничего не остается; более того, становится совершенно неясно, зачем вообще выделять их в отдельный род начал, если они исполняют подобную чисто декоративную функцию.

[6] А именно по свидетельству как раз Аристотеля в APr. II.16.65a4).

[7] При этом Аристотель при употреблении этого термина прямо отсылает к практике современных ему математиков: «то, что называется в математических науках аксиомами» (Meta. IV.3.1005a20), «так называемые общие аксиомы» (APo. I.10 76b14).

[8] По свидетельству Евдема (у Прокла в Comm. 66.7–8; 66.20–22; 67.12–15), свои «Начала» писали Гиппократ Хиосский, Леонт и Февдий из Магнезии.

[9] См., например: [Ван дер Варден 1959, 151–162, 199–202, 213–215, 230–239, 257–261].

[10] См.: [Hintikka 1972, 62–66; Ferejohn 1991, 32–35; Barnes 1993, 101; Harari 2004, 4142] и т.д.; однако см. противоположную точку зрения: [McKirahan 1992, 188–198].

[11] Отдельно стоит отметить, что понимание «гипотез» Аристотеля как недоказуемых утверждений о существовании, позволяющее поставить их в соответствие с «постулатами» Евклида, хотя и дает выдвигаемой в данной статье интерпретации дополнительную силу, однако вовсе не является основополагающим для ее функционирования доводом, так что предлагаемая интерпретация происхождения аристотелевских аксиом остается применимой даже при условии иного понимания сущности «гипотез» Аристотеля, например, как неопосредованных посылок, выражающих суждения о предикации, а не о существовании, как в [Harari 2004] или как единичных утверждений, утверждающих принадлежность конкретных индивидов к их виду, как в [Gómez-Lobo 1977].

 

Voprosy Filosofii. 2017. Vol. 1. P. ??

 

Principle of Contradiction as an Axiom: Regarding the Origin and the Status of the “Common Principles” in Aristotle’s Philosophy

Artem T. Iunusov

 

The article is supported by RSUH, project No 15-03-00864а, “The fourth book of the Metaphysics of Aristotle (Gamma): its origins, content and interpretation in Greek and Latin philosophical traditions”.

 

The topic of the present paper is the principle of contradiction and its initial status in Aristotle’s philosophy, where it functions as one of the “common principles” of all sciences. In course of the paper I try to answer the question of how exactly those common principles are supposed to function within the model of demonstrative science of Aristotle. After analyzing the doctrines of Posterior Analytics and Metaphysic I come to conclusion, that there is a contradiction in the theory that describes functioning of the common principles. This contradiction, I believe, cannot be resolved within the doctrine of Aristotle’s demonstrative science, but its’ origins can be explained historically, if we accept the hypothesis of the certain way in which the “first principles” of Aristotle’s philosophy originate from the axiomatic principles of the Ancient Greek mathematics.

 

KEY WORDS: Aristotle, Euclid, ancient philosophy, ancient logic, ancient mathematics, axioms, common principles, common notions, principle of contradiction, principle of excluded middle.

 

IUNUSOV Artem T. – postgraduate student, Department of History of Philosophy, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University, Moscow.

Этот e-mail защищен от спам-ботов. Для его просмотра в вашем браузере должна быть включена поддержка Java-script

 

Received at April, 15, 2016.

 

Citation: Iunusov, Artem T. (2017) ‘Principle of Contradiction as an Axiom: Regarding the Origin and the Status of the “Common Principles” in Aristotle’s Philosophy’, Voprosy Filosofii, Vol. 1 (2017), pp. ??

 

References

Bocharov, Vyacheslav, and Vladimir Markin (2008), Introduction to Logic, FORUM, INFRA-M, Moscow (In Russian).

Ferejohn, Michael T. (1991), The origins of Aristotelian science, Yale University Press, Yale.

Gómez-Lobo, Alfonso (1977), ‘Aristotle's Hypotheses and the Euclidean Principles’, Review of Metaphysics, Vol 30, No 3, pp. 430–439.

Harari, Orna (2004), Knowledge and demonstration: Aristotle’s Posterior Analytics, Springer Netherlands, Dordrecht.

Heath Thomas Little (1921), History of Greek Mathematics, Clarendon Press, Oxford.

Heath Thomas Little (1949), Mathematics in Aristotle, Oxford University Press, Oxford.

Hintikka, Jaakko (1972) ‘On the ingredients of an Aristotelian science’, Nous, Vol.6, No1 (1972), pp. 55–69.

Lee, Henry Desmond Pritchard (1935), ‘Geometrical Method and Aristotle's Acсount of First Principles’, Classical Quarterly, Vol. 29. № 2, pp. 113–-129.

McKirahan, Richard D. (1992), Principles and Proofs: Aristotle's Theory of Demonstrative Science, Princeton University Press, Princeton.

Smith, Peter (2013), An Introduction to Formal Logic, Oxford University Press, Oxford.

Szabó, Arpad (1978), The Beginnings of Greek Mathematics, D.Reidel, Dodrecht/ Boston.

van der Waerden, Bartel Leendert (1950), Ontwakende wetenschap Egyptische, Babylonische en Griekse Wiskunde, P. Noordholf, Groningen (Russian Translation 1959).

von Fritz, Kurt (1955), Die APXAI in der griechischen Mathematik’, Archiv für Begriffsgeschichte, Vol. 1 (1955), S. 13–103.

 

 

 

 

 
« Пред.   След. »