В.А. СУРОВЦЕВ. Рамсей и программа логицизма. Томск, Изд-во Томского университета, 2012. 258 с.

Фрэнк Пламптон Рамсей, кембриджский математик и философ, являлся одним из самых блестящих умов своего поколения. Его преждевременная кончина в возрасте 27 лет стала огромной утратой для науки. Как математик он известен прежде всего теоремой, носящей его имя, которая привела в 1970-х гг. к появлению в рамках теории графов специфического раздела, называемого «теорией Рамсея». В области экономики им написаны два труда, один из которых охарактеризован Дж. М. Кейнсом как один из самых замечательных вкладов в математическую экономику.  Как философ он находился под  сильным влиянием Л. Витгенштейна, которое проявилось в радикальной критике им программы логицизма Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда.

В русскоязычной философской литературе практически отсутствуют работы, посвященные столь значительной фигуре, как Ф. Рамсей. Это досадное обстоятельство вызвано рядом причин, одной из которых является необходимость в знакомстве с техническими деталями, сопутствующими философским программам «Principia Mathematica» и витгенштейновского «Трактата». Книга В.А. Суровцева восполняет этот пробел, будучи обстоятельным и детальным описанием философии Рамсея.

Но работа представляет собой нечто большее, чем анализ взглядов одного философа. По сути, в ней дано представление о целой эпохе  философских поисков, связанных с программами оснований математики. Логицизм в настоящее время рассматривается с некоторой долей снисходительности, как нечто такое, что принадлежит истории. Это если и справедливо, то только отчасти, но можно вполне обоснованно предполагать, что если бы не ранняя смерть Рамсея, ситуация была бы совсем другой. Трудно строить умозрительные теории относительно того, в каком направлении пошли бы исследования в области оснований математики,  если бы Рамсей продолжил модификацию логицизма, но одно обстоятельство следует отметить. Давид Гильберт, метаматематика которого пришла на смену логицизму, как свидетельствуют недавно опубликованные источники, долгое время, вплоть до 1918-19 гг., был логицистом.[1] Помимо этого, расселовская версия логицизма в последнее время подвергается новым сочувственным интерпретациям, которые позволяют рассматривать эту философию математики в гораздо более благоприятном свете, чем это было принято начиная с 30-х гг. ХХ в. [2] Это явилось в значительной степени одной из причин оживления интереса к творчеству Рамсея, который если и не спас бы логицизм, то наверняка сделал бы его гораздо менее уязвимым для конкурентов.

К огромному сожалению, в философии зачастую обходятся мифами вместо тщательного изучения деталей философского наследия. Недавно Сол Крипке жаловался, что несмотря на то, что статья Рассела «Об обозначении»[3] считается вершиной аналитической философии, лишь немногие удосуживаются тщательно прочесть ее и вникнуть в детали[4]. Книга В.А. Суровцева как раз характерна тем, что полна деталей, как в части описания философских тонкостей, так и в части деталей технических. По сути, это настоящий трактат по философии математики и логики Рассела и раннего Витгенштейна, модифицированной Рамсеем. Первая глава книги «Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея» включает такие темы, как определение натурального числа у Г. Фреге, простая и разветвленная теории типов, Аксиома Сводимости,  Аксиома Мультипликативности (известная сегодня под названием Аксиомы Выбора) и Аксиома Бесконечности. Судьбы этих аксиом различны: если Аксиома Сводимости осуждена повсеместно (включая самого Рассела), то Аксиома Выбора является предметом жарких споров и сейчас[5]. Что касается Аксиомы Бесконечности, то и она оживленно обсуждается с точки зрения ее статуса[6]. В книге дается четкая формулировка проблем, окружающих эти аксиомы; обсуждение и решение этих проблем Рамсеем и составляет костяк всей книги.

Автор начинает с изложения программы логицизма и задач ее модификации, которые ставил перед собой Рамсей, исходя из концепции логической истины Витгенштейна. Общим вердиктом в отношении логицизма в литературе по философии математики является обвинение в постулировании Расселом аксиомы сводимости. Между тем, довольно мало место уделяется тому, что собственно это такое и почему эта аксиома является фатальной для всей программы логицизма в версии Рассела. Безусловным достоинством рецензируемой книги является тщательное изложение деталей формализма «Principia Mathematica», с соблюдением оригинальной нотации, хотя и довольно сложной с современной точки зрения, но придающей аутентичность, которой так часто не хватает в подобного рода книгах. Помимо аксиомы сводимости показаны другие «уязвимые» моменты логицистской программы, а именно, статус Аксиомы Бесконечности и Аксиомы Мультипликативности. Всем трем аксиомам предъявляется упрек, состоящий в том, что они не имеют статуса логических утверждений. Автор книги довольно точно указывает на то, где именно Витгенштейн и Рамсей усмотрели слабое место логицизма. Его диагноз состоит в том, что Фреге и Рассел, указав общность формы в качестве необходимого характера логических и  математических истин, не установили критерий достаточности, «без которого вся программа логицизма повисает в воздухе» (с. 27). Опираясь на такое понимание ситуации с логицизмом, автор удачно формулирует задачу реабилитации логицизма Рамсеем в таком виде: «все обобщенные [имеющие логическую форму] предложения, принятые в качестве исходных Расселом, …либо трактовать как тавтологии в смысле Витгенштейна, либо удалить их как не соответствующие критерию достаточности» (там же). Автор очень четко формулирует, что кандидатами на столь суровое испытание являются именно три указанные выше аксиомы.

Как уже было сказано выше, вердикт относительно статуса этих аксиом не является делом решенным даже сегодня. 

Глава «Аксиома сводимости, предикативные функции и теория типов Рамсея» посвящена в общем-то наиболее обсуждаемому результату Рамсея, а именно, модификации теории типов Рассела, которая была призвана реабилитировать логицизм через демонстрацию того, что злосчастная Аксиома Сводимости излишня. В обсуждении этого вопроса, как уже упоминалось выше, требуется привлечение многих технических понятий и деталей, важнейшими из которых являются понятие предикативной функции и классификации парадоксов в основаниях математики. Первое понятие играет важнейшую роль и в современной теории множеств, а классификация парадоксов имеет важное значение для всей программы оснований математики. В.А. Суровцев очень аккуратно и грамотно обсуждает то, как Рамсей сумел модифицировать теорию типов. Аксиома сводимости критиковалась многократно по нескольким соображениям. В частности, что ее введение не мотивировано изнутри и является приемом ad hoc для спасения всей теории. Далее, ее упрекали в том, что не имеет собственно логического характера. Наконец, сам Рамсей упрекал ее в том, что она не является тавтологией, и в этом смысле может носить эмпирический характер, что неестественно для всей программы логицизма. Автор книги при этом правильно подчеркивает, что одним из главных мотивов Рассела при конструировании разветвленной теории типов была единообразная трактовка того, как блокировать  теоретико-множественные и семантические парадоксы. Автор отмечает, что Рамсей, в отличие от Рассела, который выводил все парадоксы из принципа порочного круга, разделил парадоксы на две группы. Для блокирования теоретико-множественных парадоксов он предлагает простую теорию типов, а для семантических (или эпистемологических) требуется уже разветвленная теория типов. В простой теории типов устраняется аксиома сводимости, но само различение логических и эпистемологических элементов ведет к построению  новой теории типов, построенных на существенно иных основаниях.

Ключевым для Рассела является понятие предикативной функции. Автор книги дает тщательный анализ модификации Рамсеем этого понятия и основанной на нем его же теории типов. Эта часть книги требует внимательного чтения, поскольку она полна техническими деталями и тонкими различениями. Автор подчеркивает, что модификация Рамсея с математической тоски зрения эквивалентна разветвленной теории типов, но ставит ее на более твердые основания. Решение Рамсеем парадоксов основано на разделении им этих парадоксов на две группы. Последующие программы в устранении парадоксов уже учитывали введенное Рамсеем разделение. В принципе решение это такое же, как у Рассела, но Рамсей упрощает его путем изменения определения порядка пропозициональной  функции. Для Рамсея порядок пропозициональной функции на единицу больше, чем порядок свободной переменной, в нее входящей. Это сводит все функции какого угодно порядка (в расселовском смысле) в единый класс, определяемый переменной квантификации. Ясно, что при этом исчезает необходимость в Аксиоме Сводимости. Этот маневр Рамсея, прекрасно описанный в книге, и является его главной целью в модификации логицизма. В свое время Карнап определил программу логицизма в виде  двух тезисов:

(а) Тезис определимости: концепции математики могут быть выведены из логических концепций посредством точных определений;

(b) Тезис доказуемости: теоремы математики могут быть выведены из одних лишь логических аксиом.

Внимание Рамсея было приковано к тезису (b), поскольку эти аксиомы должны быть тавтологиями в витгенштейновском смысле.  Поскольку Аксиома Сводимости не подпадала под разряд тавтологий, она устранялась. В определенном смысле огромную проблему Рамсей разрешил единым махом. Автор книги дает детальное описание построения Рамсеем как простой теории типов, так и разветвленной теории, показывая, каким образом Рамсей разрешает парадоксы. Здесь следует заметить, что тонкий анализ логико-философских вопросов подобного толка труден не только в силу технических деталей, но также и потому, что эта практически закрытая страница того, что сейчас принято называть великой «исследовательской программой». По свидетельству цитируемого в книге автора, «эти основания образуют пик, но также и конец традиции» (с. 102). Между тем это столь же печальная, сколь и ошибочная тенденция, поскольку преждевременные приговоры такого толка оказываются необоснованными: например  в отношении логического эмпиризма такой точки зрения придерживается Я. Хинтикка[7]. Важным достоинством книги является в определенном смысле «археологическая» работа по раскопкам огромной, интересной и важной философской традиции.

В главе «Тождество, определимые классы и экстенсиональные функции» автор показывает как, «расправившись» с Аксиомой Сводимости, Рамсей подступает к анализу Аксиомы Мультипликативности и Аксиомы Бесконечности. При этом он реализует свой второй главный проект, который состоит в переинтерпретации логической системы таким образом, чтобы она была экстенсиональной по своему духу. Это соответствовало бы математической практике тех дней, скажем, теории множеств Кантора. Если в своем первом проекте Рамсей находился в русле решений Рассела (и Фреге), то во втором он совершенно разошелся с интенсиональной трактовкой ими математических сущностей. Инструментом для такой переинтерпретации Рамсею, утверждает автор книги, явилась ревизия понятия тождества, как оно понималось в «Principia Mathematica». Первая часть этой главы посвящена весьма тщательному описанию и анализу концепции тождества в «Трактате» Витгенштейна, а также описанию отношения Рамсея к этой концепции, включая согласия и несогласия.

Неверное понимание понятия тождества в «Principia Mathematica» оказывается причиной неправильного понимания упомянутых аксиом, поскольку «искажает смысл экстенсионального понимания математики и склоняет к  эмпирической трактовке  этих аксиом. Их предвзятая интерпретация, основанная на неверном понимании тождества, …служит отвержению программы логицизма» (с. 109). Вся глава посвящена очень тщательному анализу новой концепции тождества, которую сконструировал Рамсей, пытаясь согласовать ее с концепцией «Principia Mathematica» и в то же время учитывая критику Витгенштейном этой программы, которая содержалась в его «Логико-философском трактате».

Автор показывает, что попытки Рамсея полностью следовать Витгенштейну приводят к усложнению символической системы. Тут следует отметить, что В.А. Суровцев при описании двойственной приверженности Рамсея Расселу и Витгенштейну не делает акцента на различии целей этих мыслителей. Если для Рассела главным была реконструкция математики, то для Витгенштейна это было установление границ мысли.  В книге очень четко отмечается, что исключение Витгенштейном тождества непосредственно ведет к важному критицизму теории кардинальных чисел, и на самом деле не оставляет камня на камне от большей части «Principia Mathematica». Автор, полагаю, что иронически, замечает, что «для Витгенштейна здесь нет проблем, поскольку он в принципе считает, что “теория классов в математике совершенно излишняя”» (с. 136). Но здесь есть проблемы для Рамсея, и в книге детально показывается, как трактовка Рамсеем математических утверждений заставляет вернуться к классам.

Раздел «Рамсей об экстенсиональном характере математики» дает прекрасное описание дилеммы экстенсиональная / интенсиональная математика. Это затрагивает самую суть определения базисных математических категорий – класса, множества, свойства, функции. Известно, что частично из-за противоречивости знаменитого Закона V у Фреге, где каждому свойству соответствовал объем или экстенсионал, Рассел предпочитал интенсиональный подход к определению классов экстенсиональному. Правда, у Рассела были и другие важные мотивы для такого предпочтения. Как верно отмечено в книге, задание классов через определяющие функции Рамсей считает одним из фундаментальных недостатков «Principia Mathematica». Он предпочитает предикативные функции, тем самым экстенсионализируя понятие функции, что «позволяет в модифицированном виде ввести в символическую систему те особенности, для которых в «Principia Mathematica» применялся знак «=», от которого отказывается Витгенштейн…» (с. 165).

Общим местом в истории аналитической философии является то, что Рамсей находился под сильным влиянием Витгенштейна. На самом деле более пристальный взгляд на их отношения показывает, что ситуация выглядит скорее наоборот. Как бы ни было, превосходный анализ их теоретических споров представлен в разделе «Витгенштейн об экстенсиональных функциях Рамсея».

Глава «Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности» имеет дело с попыткой Рамсея найти место Аксиоме Бесконечности в обосновании математики. Аксиома утверждает, что существует бесконечное число вещей в мире. В техническом оформлении она необходима для утверждения того, что для каждого натурального числа существует последующее натуральное число. Поскольку для Рамсея математические утверждения должны быть тавтологиями, а тавтологии не говорят ничего о внешнем мире, любые экзистенциальные утверждения не могут принадлежать логике. В этом смысле математика, нуждающаяся в экзистенциальных утверждениях, не может быть сведена к логике. Для спасения логицизма Рамсей вынужден прибегнуть к не очень убедительной аргументации, которую он сам называет «трансцендентальной». В книге обсуждению этого вопроса предшествует очень ясное изложение позиции Рассела о бесконечности. Речь идет не о том, нужна ли бесконечность в математике, а о статусе утверждения, которое вводит тем или иным образом обоснование бесконечности. Аксиома не является ни эмпирической гипотезой, ни аналитическим утверждением, и уж тем более – логическим утверждением. В.А. Суровцев описывает, каким образом понятие бесконечности вводится Расселом в его формальную структуру обоснования математики, а именно приданием соответствующему утверждению статуса особой аксиомы. «…Рассел принимает Аксиому Бесконечности в качестве содержательного условия доказательства некоторых математических утверждений, которые вполне могли бы быть другими, если бы оказалось, что другим является мир, для описания которого предназначена его система» (с. 204).Упрощая, можно сказать, что она требуется там, где действительно нужна.  Действительно, в «Principia Mathematica», цель которой состояла в том, чтобы свести арифметику к логике, Аксиома Бесконечности появляется только после 950 страниц. В первом томе этого капитального труда она появляется только раз, в предисловии ко второму изданию,  в виде упоминания о необходимости примитивного предположения, что существует больше одного индивида.

Автор книги постоянно, хотя и ненавязчиво, подчеркивает, что при всей оригинальности работ Рамсея его идеи находились в русле идей Рассела и Витгенштейна. «Размышления нал слабыми и сильными сторонами позиций «Principia Mathematica» и «Логико-Философского Трактата» в конечном счете приводят Рамсея к созданию собственной теории тождества, на основании которой переосмысливается характер Аксиомы Бесконечности, которая начинает рассматриваться как тавтология, то есть как предложение логики» (с. 203).

Интересно представлена в книге аргументация  Рамсея о трансцендентальном характере Аксиомы Бесконечности. Аргументация основана не на кантовском понятии, а на утверждении Витгенштейна из Трактата: «Логика не теория, а отражение мира. Логика трансцендентальна». Идея состоит в том, что, согласно Витгенштейну, любая знаковая система что-то говорит, а что-то показывает. В этом смысле трансцендентальность логики задает условия осмысленности того, что в ней может быть выражено. «Если то, что утверждает Аксиома Бесконечности, имеет хоть какой-то смысл, то черты знаковой системы должны содержать возможность этого смысла… В трансцендентальном смысле идея бесконечности означает то, что если мы можем  мыслить бесконечность, или лучше сказать, можем иметь ее идею, то мы можем ее выразить» (с. 206).

На самом деле аргументация Рамсея в этом вопросе довольно туманна и опирается на предположение Витгенштейна о невозможности для формального языка иметь модель. Хорошо известно, что в действительности это не так, и в этом смысле основания для аргументации не очень основательны. Однако заслугой В.А. Суровцева является то, что несмотря на скудость материала, он сконструировал отличную экспликацию трансцендентального аргумента Рамсея. Однако было бы лучше, если бы нашлось место для  опровержения идеи Витгенштейна о невыразимости.

Некоторое внимание уделено анализу интересных соображений Рамсея о «числе вещей в мире». Отказ Рамсея, вслед за Витгенштейном, логике в возможности утверждать существование вещей связан со многими особенностями его видения знаковых систем, в частности, с экстенсиональностью функций. В.А. Суровцев показывает, что Рамсею была очевидна неудовлетворительность Аксиомы Бесконечности, несмотря на попытки преобразовать взгляды Рассела. Это не в последнюю очередь стало причиной охлаждения Рамсея к логицизму, несмотря на его по сути героические попытки реформировать его. Аксиома Бесконечности вытесняется из менталитета Рамсея финитистскими соображениями в духе Германа Вейля. Трудно сказать, насколько далеко в этом направлении зашла бы эволюция взглядов одного из самых блестящих философов ХХ в., и нам остается лишь глубоко сожалеть о ранней его утрате.

В книге практически нет никаких биографических сведений или личностных оценок Рамсея. Но сама внимательность к деталям, погружение в тонкости вопросов, которые волновали великих аналитических философов – все это говорит об одержимости автора фигурой Рамсея. Насколько мне известно, Суровцев долго писал эту книгу. Ее трудно читать, поскольку она попросту сложна, и требует терпеливого и вдумчивого читателя. Однако она образцова с точки зрения вклада автора в российскую аналитическую философию.

В.В. Целищев (Новосибирск)