10. Теоремы о неполноте

Лейбниц по праву считается идейным создателем современной математической логики. Его основная идея состоит в том, чтобы заменить обычные рассуждения и, тем более, бесконечные споры, зачастую не приводящие ни к какому результату, на Calculus ratiocinator – исчисление рассуждений. Для этого требуется разработка универсального символического языка и формулирование организующих принципов работы с этим языком. Тогда мы могли бы доказывать уже установленные истины и открывать новые. И хотя у Лейбница этого нет, но становится очевидным, что в лучшем из возможных миров истина предстает в доказанном виде.

Понадобилось 250 лет, чтобы вернуться к идеям Лейбница, но на совершенно ином уровне. К этому времени была закончена формализация логики в виде первопорядкового исчисления¹ и математики в виде арифметики Пеано. Но главное состояло в том, что к этому времени обнаружение парадоксов в теории множеств привело к кризису в основаниях математики, поскольку из противоречия выводилось всё, что угодно, сформулированное на данном языке, например, доказуемо, что “1 = 2”. Результатом такого кризисного положения дел стала знаменитая Программа Гильберта для обоснования математики.

Суть ее очень проста. Гильберт создает строгий логический аппарат в виде теории доказательств: арифметика формализуется аксиоматически²  в первопорядковом языке и остается лишь доказать финитными (не вызывающими сомнения) средствами ее непротиворечивость, т.е. надо показать, что невозможно доказать вместе некоторое предложение A и его отрицание не-A. Образно говоря, это означает, что имеется хотя бы одно предложение, не доказуемое в данной аксиоматической системе. Поскольку непротиворечивость всей математики сводится к доказательству непротиворечивости арифметики, то программа обоснования не только математики, но всех наук, основанных на математике, была бы в таком случае триумфально закончена. Другим важным свойством аксиоматической системы является ее полнота, которая заключается в том, что мы можем доказать или A, или не-A. Таковым свойством наряду со свойством непротиворечивости, например, обладает классическое исчисление предикатов. Полнота некоторой математической теории означала бы, что минимальных средств, представленных аксиоматической системой, достаточно, чтобы обозреть всё множество истин этой теории, т.е. доказуемы все истинные предложения. Отсюда вытекает одно важное следствие: все математические истины уже заранее заданы и существуют в мире платоновских идей. Роль человека сводится к открытию этих истин и представлению их сообществу. Человек не является творцом новых истин, он только их постигает.

Грандиозной программе Гильберта в том виде, в каком она была сформулирована, не дано было осуществиться, хотя она сыграла чрезвычайную роль в развитии математической логики в XX в. и формировании нового направления в логике – метаматематики, важнейшим разделом которой как раз является теория доказательств.

В 1931 г. К. Гёдель произвел сенсацию в научном сообществе доказательством двух теорем о неполноте определенного класса формальных систем. Первая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что для формальных систем, содержащих некоторый минимум арифметики³, найдется такая формула A, что ни она, ни ее отрицание не являются теоремой в этой системе при условии ее непротиворечивости. Более того, вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что в качестве A можно взять утверждение о непротиворечивости самой рассматриваемой системы. Из первой теоремы следует, что можно представить хотя бы одно истинное предложение, которое не доказуемо. При этом полученная неполнота является принципиальной: никакое пополнение недоказанными истинными формулами ее не устраняет. Из второй теоремы следует, что непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Таким образом, в итоге существуют формальные системы, в данном случае арифметика, в которых непротиворечивость и полнота несовместимы. Невозможно было себе представить, что то самое недоказуемое предложение, гарантирующее по определению непротиворечивость формальной системы, может оказаться к тому же истинным!

Ни один логико-математический результат, полученный с применением столь изощренной техники, не вызывал такого бурного отклика среди представителей самых различных наук, в том числе гуманитарных⁴. Как недавно заявил математик А. Сосинский (лекция 13 декабря 2012 г.), теорема Гёделя наряду с открытием теории относительности, квантовой механики и ДНК рассматривается как крупнейшее научное достижение ХХ в. Однако главный философский вывод не был сделан, и относился он к проблематике неразрешимости, когда впервые в точных логических терминах, пусть на конкретном примере, получило экспликацию понятие невозможности.

             В 1928 г. Гильберт сформулировал проблему разрешимости, которая заключалась в нахождении общего метода или эффективной процедуры, с помощью которой относительно любого утверждения на языке формальной логики можно решить вопрос, является оно истинным или нет. Обнаружение Гёделем недоказуемых арифметических истин оказало определяющее воздействие на решение этой проблемы. По свидетельству историков сам Гильберт вплоть до 1930 г. верил, что нет такого объекта, как неразрешимая проблема. Чтобы ответить на вопрос Гильберта, потребовалось уточнение, что понимается под эффективной процедурой или, иначе говоря, потребовалось уточнение неформального понятия алгоритм в виде формальной модели потенциальной вычислимости.

В 1936 г. А. Тьюринг строит математическую модель понятия вычислимости, получившую впоследствии название машины Тьюринга (провозвестницы современного компьютера) и показывает, что не существует универсального алгоритма для проверки истинности утверждений арифметики, а поэтому и более общая проблема разрешимости также не имеет решения. Оказывается, пример Гёделя о недоказуемом  истинном утверждении не редкое исключение, а имеет массовый характер. Пришло осознание, что существование неразрешимой процедуры (невозможность) является более фундаментальным свойством, и в итоге мы получаем неполноту как следствие. Отсюда главный философский вывод: пусть в интеллигебельном мире, но можно привести строгий пример того, что есть невозможное.

Дальнейшее развитие результатов Гёделя и Тьюринга принадлежит Г. Чейтину. В 1968 г. он, опираясь на теорию алгоритмической информации, приводит доказательство о неполноте, из которого следует, что недоказуемость истинных утверждений является нормой и класс таких утверждений бесконечен. Более того, для таких утверждений существует предел сложности (предел Чейтина), переступить который не под силу даже самому выдающемуся разуму. Этот предел сложности принципиален и с развитием цивилизации он не отодвигается, т.е. какие бы ресурсы не были затрачены на решение данной проблемы – решению она не подлежит. Область непознаваемого в мире математики гораздо обширнее, чем можно получить из аксиом математики (см. [Чейтин 1999]).

Одним из последствий результата Гёделя стала многолетняя напряженная дискуссия относительно того, имеем ли мы дело с ограничением вычислительных возможностей машин Тьюринга, является человек машиной Тьюринга или нет (на последнем настаивал сам Гёдель), и если нет, то каким образом он постигает истину, не доступную машине (см. обзор [Мегилл 2012]).

11. Назначение человека

Очевидно, главным следствием принципа полноты является появление на арене мыслящего существа, без чего сам принцип теряет всякий смысл. Появление такого существа ознаменовало собой работу чудовищной силы генератора, расширяющего поле возможностей беспредельно. Для реализации принципа полноты требуются всевозможные атрибуты человека, особенно связанные с его творческой и психической деятельностью.

Следуя Платону, можно сказать, что творчество есть рождение бытия из небытия. По словам нобелевского лауреата по физике Г. Биннинга, человеческое творчество есть «открытие возможностей» (цит. по: [Князева 2012, 14]). Работа Е.Н. Князевой, известного специалиста по синергетике, представляет для нас большой интерес по созвучию некоторых идей. Здесь в разделе: «Периодическое погружение в хаос как путь творческого мышления» встречается термин “поле возможностей” и затрагивается тема о методах активизации креативного мышления, в результате которых «всё возможно»⁵.

Беспрестанные усилия человека выйти за пределы самого себя, за пределы своего сознания – значительно раздвигают, а порой и максимально расширяют поле возможностей. Не будет большим преувеличением предположить, что различные психоделики и в особенности открытие ЛСД в  1938 г. (не стоит также забывать и о традиционных восточных учениях) заложили основы трансперсональной психологии, где центральным является понятие “расширенное сознание”. Интересны названия работ основателей трансперсональной психологии: «Великая цепь бытия» [Уилбер 2006] и «Когда невозможное возможно» [Гроф 2007]. В них говорится о таком расширении сознания, которое охватывает всю Вселенную, Космос и под различными определениями становится наивысшей формой бытия. Однако трансперсонологам, несмотря на огромное количество публикаций и уникальный экспериментальный материал, пока не удалось добиться широкого признания в научном сообществе.

Рано или поздно человек должен был появиться: принцип изобилия трансформируется в принцип полноты, создавая условия для мыслительной деятельности человека. Этому соответствует антропный космологический принцип, по одной из формулировок которого – законы природы и соотношения фундаментальных констант как раз такие, какие необходимы для существования разумной жизни (см. [Барроу и Типлер 1988]). На самом деле, принцип полноты является основанием любого антропного принципа и даже такого, как высказанный выдающимся физиком ХХ в. Дж. Уилером (работавшим с Бором, а затем с Эйнштейном): «Наблюдатели необходимы для обретения Вселенной бытия» [Уилер 1977, 27].

В этой связи возникает естественный вопрос: если принцип полноты действует во всех сферах бытия и даже в самых тонких, то существует ли современная физическая теория, которая отражает его хотя бы в какой-то степени? Оказывается, есть такая хорошо известная физическая теория, в которой философский принцип полноты находит свое воплощение, пусть и в первом приближении. Эта теория называется «многомировая интерпретация квантовой механики»⁶.

12. Миры Эверетта

Вот уже целое столетие проблема измерения квантовых объектов является центральной при описании квантово-механической реальности. Под измерением понимается возможность получения информации о состоянии системы путем проведения физического эксперимента. Поведение квантового объекта в точности описывается волновой функцией, содержащей все возможные состояния системы, но при копенгагенской интерпретации (названной так по месту жительства Н. Бора) в момент проведения эксперимента волновая функция коллапсирует только в одно совершенно непредсказуемое конкретное состояние, тем самым осуществляя вероятностный переход из квантового мира в классический мир. Уравнения квантовой механики не объясняют причину такого коллапса, он просто постулируется. Таким образом, данные некоторого единичного эксперимента полностью исключают из классической реальности все остальные возможные состояния системы. Получается, что описывается не квантовый объект, а то, что осталось после коллапса (редукции) волновой функции, в результате чего свойства, обнаруженные при измерении, могут вообще не существовать до измерения. Но главным недостатком данной интерпретации является то, что квантовый и классический миры никак не связаны между собой. И более того, квантовому миру вообще отказано в какой-либо реальности.

Несмотря на все эти обстоятельства, квантовая механика с большим успехом стала применяться для решения многочисленных технических и практических задач. Чуть ли не в апогей расцвета копенгагенской интерпретации квантовой механики, поддержанной работами Н. Бора, В. Гейзенберга и Дж. фон Неймана, в 1957 г. в печати появляется сокращенный вариант диссертации Хью Эверетта III, написанной под руководством Дж. Уилера (см. [Эверетт 1957]). Стараясь избежать проблем, связанных с коллапсом волновой функции, Эверетт обобщает математический аппарат, согласно которому волновая функция никогда не коллапсирует, а наоборот, включает в себя и наблюдателя с его измерительным прибором. Таким образом, Эверетт вводит универсальную волновую функцию, которая связывает наблюдателя и объекты наблюдения в единую квантовую систему! В результате в процессе измерения реализуются сразу все возможные состояния, т.е. квантовый мир расслаивается (расщепляется, ветвится) на параллельные классические миры. Согласно фундаментальным математическим свойствам уравнения Шредингера, появляющиеся новые миры не влияют друг на друга, у каждого из них свое будущее и свое прошлое, в том числе и такое, в котором наблюдатель становится участником последнего сражения Юлия Цезаря на реке Рубикон (см. Приложение в конце статьи).

Такая интерпретация квантовой механики получила название многомировой благодаря усилиям известного физика Б. Де Витта, который ввел этот термин и развил теорию Эверетта, сделав ее широко известной. В мирах Эверетта реализуется все возможное, но с тем ограничением, что эта реализация не противоречит физическим законам нашей Вселенной.

Насколько эта теория фантастична? Оказывается не намного более, чем стандартная копенгагенская интерпретация с ее нелокальностью (квантовой запутанностью). Здесь мы имеем в виду знаменитый парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена (ЭПР-парадокс), сформулированный в 1935 г. в виде мысленного эксперимента и призванный показать всему миру, что квантовая механика в своем описании реальности не полна, но содержит скрытые параметры, которые в будущем будут уточнены, и поэтому вероятностный характер ее предсказаний устраним. Оказалось, что если после взаимодействия двух квантовых частиц в результате распада третьей провести измерения одной из них, то мгновенно изменятся параметры другой частицы, находящейся даже на другом конце галактики. Это противоречит принципу локальности Эйнштейна: если две системы A и B пространственно разделены, то при полном описании физической реальности действия, выполненные с системой А, не должны изменять свойства системы В. И хотя по выражению Эйнштейна «Он [Бог] не играет в кости»⁷, проведенные в начале 80-х годов эксперименты А. Аспекта и затем подтвержденные, хотя проверка все еще продолжается, показали, что принцип неопределенности Гейзенберга обойти никак не удается, поскольку квантовая реальность – это нечто совсем другое, в ней нет разделенных в пространстве объектов, чем и объясняется мгновенное дальнодействие, нарушающее принцип причинности⁸. Феномен нелокальности требует серьёзного переосмысления наших воззрений на пространство и время. Пока очевидно, что свойством нелокальности обладает человеческая мысль.

По теории Эверетта в момент измерения происходит необратимое «расщепление миров», и история обеих частиц A и B с момента взаимодействия становится определённой. В рамках этой истории проведение измерения над частицей A не оказывает влияния на состояние частицы B и противоречие с принципом причинности отсутствует.

В последнее время математическая концепция Эверетта получает все большее признание. Непосредственно многомировой интерпретации посвящена энциклопедическая статья [Вайдман 2002]. Отметим также энциклопедическую статью [Барретт 2010] с указанием обширной литературы, где рассматриваются различные интерпретации и следствия самой исходной теории Эверетта. Из самых последних научных изданий сошлемся на монографию [Бэрн 2010] и на сборник статей c комментариями [Барретт, Бэрн 2012]. Стоит также упомянуть концепцию “склейки” эвереттовских ветвей в книге Ю.А. Лебедева [Лебедев 2000], что приводит к изменению прошлого и объясняет многие странности нашего повседневного мира.

Однако непосильный груз мириады физических эвереттовских миров, рождаемых ежесекундно, не только трудно вынести на своих плечах, но даже и осмыслить, а осмыслив – принять. Как написал в резюме своей книги К. Брюс: «Новое понимание имеет свою цену: мы должны признать, что живем в мультиверсе, где бесчисленные версии действительности разворачиваются бок о бок. Философские и личные последствия этого внушают страх» [Брюс 2004]). Однако выход есть, по крайней мере, для теории Эверетта.

Новый подход заключается в том, что сознание человека явным образом включается в процесс квантового измерения⁹. При этом происходит не расщепление самого квантового мира на бесчисленные классические реальности, в каждой из которых находится свой наблюдатель, а расщепляется само сознание человека на компоненты. Эти компоненты и есть миры Эверетта, в которых стандартно находится по одному наблюдателю, и он воспринимает окружающий его мир как единственный. Такое понимание получило название “интерпретация многих разумов” (many-minds interpretation) и  впервые была обнародована физиком-теоретиком Х.-Д. Цее в 1970 г. Эта концепция стала активно развиваться в последней четверти ХХ в. (см. обзор [Локвуд 1996]), а начиная с 2000 г. особенно интересные и плодотворные идеи были выдвинуты физиком Б.М. Менским. Здесь мы сошлемся на его большую философскую статью [Менский 2005] и книгу [Менский 2011]. Статья кроме всего прочего примечательна тем, что опубликована в нашем главном журнале по физике с предисловием нобелевского лауреата В.Л. Гинзбурга.

В интерпретации Менского делается довольно-таки смелое утверждение об отождествлении сознания с самим разделением на альтернативы и выборе одной из них. Таким образом, «сознание оказывается общей частью квантовой физики и психологии» [Менский 2005, 426]. Важно подчеркнуть, что здесь происходит обобщение теории Эверетта: сознание наблюдателя не разделяет реальность на альтернативы, а есть само разделение альтернатив. Сознание как бы перебирает все возможные классические альтернативы, и в этом смысле квантовая реальность эквивалентна множеству классических реальностей.

Самый важный вывод из этого обобщения заключатся в том, что в состоянии сна, транса или медитации¹⁰, когда чувственное сознание почти полностью отключается, на оставшемся глубинном уровне сознания возникает доступ ко всем классическим альтернативам. Так можно объяснить многие феномены из реальной психической жизни человека. Можно также предположить, что сознание человека способно сделать более вероятным некоторое событие, даже если по законам физики (квантовой механики) вероятность этого события очень мала. Здесь Менский старается быть осторожным, но интенция очевидна: сознание человека, взаимодействуя с квантовым миром, может способствовать реализации того, что возможно. Но как это происходит на самом деле, пока непонятно. Конечно, не всякий объект мышления может стать реальным. Есть противоречивые или невозможные объекты¹¹. Поэтому имеет смысл разделить наше мышление на содержательное и символическое. Второе как раз и относится к мысли о невозможных объектах, «которые, по существу, нами не мыслятся, но лишь замысливаются, лишь мнятся, но не осуществляются в мышлении» (см. [Иванов 2004]). Но и для тех объектов, которые мыслятся содержательно в полной мере, возникает сложнейшая проблема реализации. Ведь мыслятся они как абстрактные объекты, например стул, а такого абстрактного объекта в реальности не существует. На это обратил внимание в своей книге М.Н. Эпштейн  при рассмотрении принципа полноты Лавджоя [Эпштейн 2001]. Однако вся эта сложнейшая проблематика отступает, даже сникает перед грандиозной проблемой осмысления мультиверса, развертываемого в бесконечном времени и пространстве.

13. Принцип полноты в действии

Чтобы стало возможным говорить обо всей полноте реальности, а не только о Вселенной, доступной наблюдению, в литературе по космологии получили употребление такие синонимы как множественные миры, параллельные миры, параллельные вселенные, альтернативные вселенные, мультивселенные, метаверс, мегаверс или мультиверс. Современная концепция множественности миров, основанная на интерпретации квантовой механики, имеет достаточно сильные ограничения, поскольку во всех мирах Эверетта действуют одни и те же законы физики. Но главное и на самом деле спасительное ограничение заключается в том, что ветвящуюся структуру миров Эверетта можно представить конечной, хотя и беспрерывно расширяющейся, а это значит, что не всё в этом мультиверсе возможно.

Более грандиозная структура мультиверса, не имеющая никаких ограничений, основывается на идеях инфляционной космологии, впервые сформулированных А. Гутом (1981) и усовершенствованных А. Линде под названием “хаотическая инфляция” (1982). Инфляционная модель Вселенной должна была решить ряд проблем, связанных со стандартной теорией Большого взрыва. Для этого на ранней стадии возникновения Вселенной предполагается период значительно ускоренного по сравнению со стандартной моделью горячей Вселенной расширения, названного инфляционным. Оно происходит под влиянием особого физического поля, именуемого инфлатоном.

Здесь надо сделать одно очень важное для нас уточнение относительно инфляционного расширения [Грин 2012]. Каким образом возможно, чтобы предметы, находившиеся рядом друг с другом в момент Большого взрыва, затем отдалялись настолько быстро, что испускаемый одним из них свет не успевал достичь другого? Ведь скорость света в вакууме предельна для всего в космосе. Дело в том, что предел скорости, устанавливаемый светом, относится исключительно к движению объектов сквозь пространство, а инфляционное расширение есть расширение самого пространства, и здесь теория относительности не накладывает никаких ограничений. Поэтому нет никаких ограничений на скорость разбегания галактик, увлекаемых общим расширением. В результате возможность влияния этих галактик или иных объектов друг на друга исчезает.

Теперь перейдем к концепции мультиверса, порождаемого физической теорией вечной инфляции¹², одним из авторов которой является физик-космолог А. Виленкин. Его книга, впервые изданная на английском в 2006 г. и вызвавшая большой интерес во всем мире, содержит весьма тонкие рассуждения, непосредственно относящиеся к нашей теме. Его главный вывод заключается в том, что «во Вселенной в целом инфляция никогда не заканчивается и рост объема инфлирующих областей продолжается беспредельно!» [Виленкин 2011, 111]. Это приводит к быстрому росту изолированных островных вселенных, число которых безгранично растет. Каждая островная вселенная с точки зрения ее обитателей, если они есть, бесконечна и может быть разделена на бесконечное число областей такого же размера, как наблюдаемая нами часть Вселенной. Виленкин называет их О-регионами. В этих вселенных фундаментальные постоянные, характеризующие наш мир, получают различные значения. Большинство этих вселенных кардинально отличается от нашей и лишь совсем малая их часть пригодна для жизни.

Ключевым моментом здесь является то, что количество различных историй в любом О-регионе ограничено. Под ”историей” подразумевается все, что случилось, вплоть до таких событий, как соударение двух атомов. Кажется, что историй бесконечно много, например, можно передвигать некий объект на все меньшие расстояния, образуя бесконечную последовательность. Но принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам, что близкие друг к другу истории принципиально невозможно различить¹³, и это означает, что число различных историй системы конечно. Грубо говоря, число возможных историй О-региона от Большого взрыва до наших дней можно подсчитать и оно составляет примерно 10 в степени 10¹⁵⁰. Это чудовищно большое число с нулями, которые не уместились бы на страницах всей книги Виленкина. Но оно конечно! При этом, как бы не накачивали О-регион энергией, есть абсолютный предел числу возможных состояний (историй) в нем, который задается законами гравитации и который еще предстоит вычислить. Как отмечает Виленкин, «действительное количество квантовых состояний и историй О-региона не так важно, но конечность их числа имеет важные последствия для нашей дискуссии» [Там же, 150]. Добавим – и для нашей тоже.

Объединяя утверждение о бесконечном множестве О-регионов, которое следует из инфляционной теории, с утверждением о конечности историй, мы приходим к совершенно удивительным  следствиям этой новой картины мира. Во-первых, все, что строго не запрещено законами сохранения, имеет ненулевую вероятность реализации, а значит, наверняка уже осуществилось. Одним словом, реализуются все возможные истории, в том числе и та, о которой каждый человек мечтает всю свою жизнь, но здесь не может осуществить, а также та, которую он желает исправить, всю свою жизнь возвращаясь в прошлое. И, конечно, есть история, в которой изменена лишь кличка моего кота: там он называется не “Тибет” (у моего кота на животе изображена черно-белая карта Тибета), а “Днепр” (поскольку у него на животе отражен вид на Днепр с Могилевского днепровского вала). Во-вторых, и это может показаться совершенно невероятным – становится неизбежным вывод о существовании бесконечного числа миров, идентичных нашему (см. раздел 7). Вывод этот тривиален, поскольку бесконечные перестановки конечного множества ведут к бесконечным повторениям. Например, число вариантов расклада колоды карт огромно, но рано или поздно мы придем к повторениям. В силу разницы скорости света и скорости инфляционного расширения до своих двойников мы никогда не доберемся, это как раз и спасает нас от безумия при виде нарисованной картины мира, но не от страха перед полнотой реализации всего возможного, в том числе и самого ужасного.

А. Линде обосновывает простое доказательство слабого антропного принципа в рамках инфляционной космологии, поскольку «более не требуется некая сверхприродная причина, создающая нашу вселенную со специально подобранными для возможности нашего существования параметрами. Инфляционная вселенная сама по себе, без всякого внешнего вмешательства, рождает экспоненциально большие области со всеми возможными законами физики. И мы не должны более поражаться тому, что пригодные для нашего существования условия реализуются на таких больших масштабах – если даже они изначально установились только в нашей окрестности, инфляция устанавливает их во всей наблюдаемой части вселенной» [Линде 2001]¹⁴.

Еще раз обратим внимание на только что появившуюся книгу физика-теоретика Б. Грина  (один из ведущих специалистов в области теории струн¹⁵). Она впервые полностью посвящена обзору различных идей на тему о параллельных вселенных¹⁶. Здесь он сразу дает понять, что «все гипотезы о параллельных вселенных, которые мы принимаем всерьез, пришли к нам непрошенными гостями из теоретических выкладок тех теорий, которые разрабатывались для объяснения вполне традиционных данных и наблюдений» [Грин 2012, 19].

Грин рассматривает девять (!) вариантов построения мультиверса, где наиболее предпочтительной, объясняющей большинство космологических данных, является отмеченная выше теория, основанная на инфляционной космологии. Приводится обзор различных версий (одна другой интересней) мультиверса (три мультиверса основаны на теории струн) в виде таблицы. Чего только стоит “голографическая мультивселенная”, утверждающая, «что наша Вселенная является точным отражением явлений, происходящих на удаленной граничной поверхности, являющейся физически эквивалентной параллельной вселенной» [Там же, 323].

Но самый большой интерес вызывает последняя модель в таблице под названием “окончательная мультивселенная”. Что больше всего поражает, так это использование в ее описании термина “принцип изобилия”, утверждающего, что «каждая возможная вселенная реальна». Так мы совершенно неожиданно в конце исследования приходим к тому, с чего начали. Правда, в данном случае на принцип полноты накладывается некоторое ограничение, заключающееся в строгом математическом платонизме: «Все структуры, существующие математически, существуют также физически». Эта концепция выдвинута космологом М. Тегмарком в 1998 г. и в развернутом физико-математическом виде опубликована [Тегмарк 2008]¹⁷.

Таким образом, получается, что различные системы математических уравнений с их возможными решениями – это различные реальные вселенные, в их числе существует и вселенная Гёделя, разрешающая путешествие в прошлое, но ограничивающая встречу с самим собой. Однако универсальное применение такой концепции уязвимо. Из нее, например, следует, что гениальный физик, снабженный современным математическим аппаратом, способен решить любую физическую задачу. Однако в силу теорем Гёделя о неполноте мы знаем, что это не так. Кстати, проблема взаимоотношения математического аппарата современной физики с ограничительными теоремами Гёделя обсуждается в [Барроу 2012, 86-100]. Весьма любопытны мысли о том, что законы природы могут использовать только разрешимую часть математики или о том, что мир физических возможностей конечен.

Обратим также внимание на то, что космологи, выдвигая столь удивительные идеи, всё же указывают на некоторую их проверяемость. Поскольку экспериментальная проверка здесь невозможна, говорится о косвенной подтверждаемости. Некоторые из космологов даже дают понять, что им знаком принцип фальсифицируемости Поппера, а также методологический принцип, получивший название “Бритвы Оккама”. К счастью для философии, ее идеи не нуждаются в экспериментальной проверке.

Для нас важны совпадения, которых никак нельзя миновать. Когда один из величайших американских философов-логиков ХХ в. Д. Льюис говорит о реальности всех возможных миров (концепция “модального реализма”) [Льюис 1986], а великий физик  Дж Уилер – о реализации всех логических возможностей (“все из битов”)  [Уилер 1990], то такие совпадения заставляют всерьез задуматься об идее мультиверса и ещё больше о роли человека в нём.

Стоит подчеркнуть, что ни Барроу, ни Виленкин, ни Грин, ни Тегмарк, ни многие другие физики-космологи, пришедшие к концепции мультиверса и развивающие самые “сумасшедшие” идеи о том, что все возможно – никто из них не ссылается ни на Лавджоя, ни на его книгу. Это весьма примечательный факт, свидетельствующий о том, что современная космология самым радикальным образом становится философией, пусть математизированной, но философией, а философия в своих высших проявлениях превращается в космологию.

14. На пути к разумному мультиверсу

Что сложнее, весь бесконечный ряд натуральных чисел или отдельное число? Нет, не первое, поскольку натуральный ряд можно построить с помощью очень простой программы¹⁸, а для записи конкретного большого числа информации в битах может потребоваться гораздо больше. Этот пример приводят космологи для подтверждения мысли о том, что весь ансамбль вселенных описать намного проще, чем отдельный мир, и чем он уникальнее, как, например, лучший из всех возможных миров, тем сложнее его описать. Множество решений уравнений Эйнштейна для поля обеспечивается всего несколькими уравнениями, а конкретное решение требует огромного числа начальных данных. Отдельно взятый конкретный мир, например наш, никак не удается строго описать, потому что требуется вводить все новые и новые ограничения. Что значит единственная Вселенная, в которой не может произойти некоторое заурядное или совсем незаурядное событие? Как эту невозможность описать?

Мир, в котором реализуется все возможное, инвариантен и симметричен.  Последнее является необходимым свойством любой конкретной физической теории. Если законы физики не меняются при определенных операциях (преобразованиях), то эти законы обладают определенной симметрией. Революционным в физике стало применение такого принципа симметрии, как принцип относительности, откуда следует, что все законы природы одинаковы во всех инерциональных системах отсчета. В нахождении глобальной симметрии – смысл построения физической теории великого объединения¹⁹, в наиболее общем виде названной Теорией всего, призванной «снабдить нас окончательной формулой всевозможных преобразований» [Барроу 2012, 75]. И здесь стоит подчеркнуть, что рано или поздно, но физикам придется включить в “теорию всего” феномен сознания.

Упомянутый нами в начале статьи древнегреческий принцип изономии есть физический принцип симметрии. Можно предположить, что его спонтанное нарушение привело в итоге к формированию самого универсального принципа симметрии – принципа полноты, требующего наличия мыслящего существа. Нарушение симметрии говорит об изначальной неполноте и этим объясняется стремление к построению всяческих “теорий всего”, самой грандиозной из которых стал философский принцип полноты. Конечно, этот принцип является тяжелейшим испытанием для этики и теологии, если для него нет никаких ограничений.

Спасительная веточка содержится в одном весьма тонком замечании относительно свойств бесконечности: «Бесконечность пространства сама по себе не гарантирует, что все возможности реализуются где-то во Вселенной» [Виленкин 2011, 153]. Заметим, что бесконечное множество определяется Г. Кантором как множество, которое в качестве собственного подмножества содержит опять же бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел в качестве своего подмножества содержит множество четных чисел 2, 4, 6, 8, … но эта бесконечность не содержит все возможные числа. Аналогично этому, бесконечность пространства не означает, что все возможности реализуются где-то во Вселенной. В отличие от теоретико-множественной эквивалентности счетных множеств, вследствие их взаимно-однозначного соответствия, физические бесконечности разные. Таким образом, проблема состоит в способе измерения размеров различных бесконечных наборов вселенных. Более подробно это рассматривается в книге [Грин 2012], где подчеркивается, что «проблема измерения уходит корнями на самый фундаментальный уровень и ее решение может потребовать серьезного пересмотра основополагающих идей» (прим. 12 к главе 7).

В свою очередь заметим, что сложность данной проблемы скорее всего связана с проблемой невозможности, но не в мире логико-математических конструкций, а в онтологическом, где наряду с ограничениями квантового мира (квантовая неопределенность) имеются также ограничения макромира, назовем это мега-неопределенностью. На самом глубинном уровне мироздания происходит своеобразная суперпозиция бесконечностей. В результате и возникает мега-неопределенность, не позволяющая реализоваться той или иной бесконечности, чтобы завершить всё возможное. Можно предположить, что это связано с природой человека. Открытие таких ограничительных законов приведет к созданию новой космологии  с другими мультиверсами, где принцип полноты получает свое естественное ограничение, а человек – надежду, но не уверенность. Уверенность придет, когда человек осознает свое истинное предназначение.

Каким-то образом и квантовая неопределенность, и мега-неопределенность замыкаются на природе человека, откуда следует, что истинное назначение человека не только в продуцировании поля возможностей, но также в его ограничении и последнее является наиболее важным. Например, различие между понятиями “цивилизация” и “культура” можно сформулировать так: первое относится к действию принципа полноты, а второе – к его ограничению. Частным случаем этого является моральность как ограничение рациональности [Гусейнов 2012]. Точно так же обстоит дело и со знаменитой оппозицией “ложь – истина”. Такая сугубо нравственно-этическая проблема, как способность человека беспрерывно лгать, приобретает здесь чисто онтологический характер: ложь порождает все новые и новые миры Эверетта, а истина их ограничивает. Конечно, возникает вопрос о неком механизме, заложенном в самом человеке и отвечающем, с одной стороны, за действие принципа полноты, а с другой – за его ограничение. Претендентом на такой механизм может стать функциональная асимметрия мозга, где синтетическая деятельность правого полушария, отвечающая за творческое воображение, ограничивается аналитической деятельностью левого полушария (хотя бывают нарушения и даже отождествления).

Чтобы найти самый мощный ограничитель, надо знать, как возможно возможное? Это один из основных вопросов  онтологических исследований²⁰. На него пытается ответить современная космология, развивающая теорию квантового зарождения Вселенной из ничего, которая не требует никакого причинного объяснения; также говорят о квантовом туннелировании из ничего²¹, подчиняющемся законам квантовой механики. Однако еще более фундаментальной является следующая проблема: как возможно невозможное?

Литература

Анисов 2012 – Анисов А.М. Как возможно возможное? // Логико-философские исследования. 2012. №5.

Баррет 2010 – Barrett J. Everett's relative-state formulation of quantum mechanics // Stanford Encyclopedia of Philosopy, 2010 (http://plato.stanford.edu/entries/qm-everett/).

Барретт и Бэрн (ред.) 2012 – Barrett J.A. and Byrne P. (eds.) The Everett Interpretation of Quantum Mechanics: Collected Works 1955-1980 with Commentary. Princeton (NJ), 2012.

Барроу 2012 – Барроу Д. Новые теории всего. В поисках окончательного объяснения. Минск, 2012.

Барроу и Типлер 1988 – Barrow J. and Tipler F. The Anthropic Cosmological Principle. New York, 1988.

Беклемишев 2010 – Беклемишев Л.Д. Теоремы Гёделя о неполноте и границы их применимости. I // Успехи математических наук. 2010. Т.65. №5.

Брюс 2004 – Bruce C. Schrödinger’s Rabbits: The Many Worlds of Quantum.  Washington, 2004.

Бэрн 2010 – Byrne P. The Many Worlds of Hugh Everett III: Multiple Universes, Mutual Assured Destruction, and the Meltdown of a Nuclear Family. Oxford. 2010.

Вайдман 2002 – Vaidman L. Many-worlds interpretation of quantum mechanics // Stanford Encyclopedia of Philosopy, 2002 (http://plato.stanford.edu/entries/qm-manyworlds/).

Вайнберг 2008 – Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. Физика в поисках самых фундаментальных законов природы. М., 2008.

Виленкин 2011 – Виленкин А. Мир многих миров. Физики в поисках иных вселенных. М., 2011.

Гелл-Манн 1995 – Gell-Mann M. What is complexity? // Complexity. 1995. Т.1. № 1.

Грин 2011 – Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории М., 2011.

Грин 2012 – Грин Б. Скрытая реальность: Параллельные миры и глубинные законы космоса. М., 2012.

Гроф 2007 – Гроф К. Когда невозможное возможно: Приключения в необычных реальнос­тях. М., 2007.

Гусейнов 2012 – Guseynov A. Morality as the limit of rationality // A. Guseynov and V. Lektorsky (eds.) Rationality and its Limits. Moscow, 2012.

Иванов 2004 – Иванов Е.М. Гёделевский аргумент // К проблеме “вычислимости” функции сознания, 2004 (http://ivanem.chat.ru/godel1.htm).

Какý 2008 – Какý М. Параллельные миры: О6  устройстве мироздания,  высших измерениях  и  будущем  Космоса. М., 2008.

Карпенко 2011 – Карпенко А.С. (составление). Псевдонимы. М., СПб., 2011.

Князева 2012 – Князева Е.Н. Природа креативности в зеркале креативности природы // Е.Н. Князева (ред.) Эпистемология креативности. М., 2012.

Лебедев 2000 – Лебедев Ю.А. Неоднозначное мироздание. Кострома, 2000.

Линде 2001 – Линде А. Инфляция, квантовая космология и антропный принцип, 2001 (http://www.astronet.ru/db/msg/1181211).

Лир... 1998 – Лир Т., Метцнер Р., Олперт Р. Психоделический опыт. Руководство на основе «Тибетской книги мертвых». Львов, 1998.

Локвуд 1996 – Lockwood, M. Many minds interpretations of quantum mechanics // British Journal for the Philosophy of Science. 1996. Т.47. №2.

Льюис 1986 – Lewis D. On the Plurality of Worlds. Oford, 1986.

Мегилл 2012 – Megill  J. The Lucas-Penrose Argument about Gödel’s Theorem // Internet Encyclopedia of Philosophy, 2012 (http://www.iep.utm.edu/lp-argue/#H5).

Мейнонг 2011 – Мейнонг А. Теория предметов // Эпистемология & Философия Науки. 2011. Т. XXVII. №1.

Менский 2005 – Менский М.Б. Концепция сознания в контексте квантовой механики // Успехи физических наук. 2005. Т.175. №4.

Менский 2011 – Менский М.Б. Сознание и квантовая механика: жизнь в параллельных мирах: (чудеса сознания – из квантовой реальности). Фрязино, 2011.

Нагель и Ньюмен 2010 – Нагель Э. и Ньюмен Дж. Р. Теорема Гёделя. М., 2010.

Тегмарк 2003 – Тегмарк М. Параллельные вселенные // В мире науки. 2003. №8.

Тегмарк 2008 – Tegmark M. The Mathematical Universe // Foundations of Physics. 2008. Т.38. №2.

Уилбер 2006 – Уилбер К. Великая цепь бытия // Р. Уолш и Ф. Воон (ред.) Пути за пределы эго. М., 2006.

Уилер 1977 – Wheeler J.A. Genesis and observership // R.E. Butts, and K.J. Hintikka (eds.) Foundational Problems in the Special Sciences. Dordrecht, 1977.

Уилер 1990 – Wheeler J.A. Information, physics, quantum: The search for links // W.H Zurek (ed.) Complexity, Entropy and the Physics of Information Addison-Wesley, 1990.

Чейтин 1999 – Chaitin G.J. The Unknowable. Singapore, 1999.

Эверетт 1957 – Everett H. Relative state formulation of quantum mechanics // Review of Modern Physics. 1957. №29.

Эпштейн 2001 – Эпштейн М. Философия возможного. Модальности в мышлении и культуре. Санкт-Петербург, 2001.

Примечания

¹ Логика высказываний расширяется кванторами “все” и “существует”, которые позволяют делать утверждения о бесконечных областях.

² Представлен список совершенно очевидных аксиом и еще более очевидных правил, что все вместе образует доказательства в виде конечных последовательностей символов.

³ Язык логики предикатов расширяется константой 0 и функторами для операций сложения и умножения, а для арифметики добавляются аксиомы Пеано.

⁴ Приемлемое изложение для неискушенного читателя результата Гёделя в [Нагель и  Ньюмен 2010]. Для более заинтересованного читателя см. [Беклемишев 2010], где рассматриваются современные обобщения теорем Гёделя о неполноте.

⁵ В статье дается ссылка на [Лир... 1998, 106].

⁶ Наверное, впервые на эту связь было указано в «Псевдонимах» (см. [Карпенко 2011, 29-33]).

⁷ Письмо Эйнштейна Максу Борну от 12 декабря 1926 г.

⁸ Литература в связи с ЭПР-парадоксом совершенно необъятна, вплоть до объяснения телепатии, телекинеза и путешествий в прошлое. Однако здесь мы сошлемся лишь на доклад А. Аспекта «Теорема Белла: Наивный взгляд экспериментатора», прочитанный на конференции памяти Дж. Белла в Вене в декабре 2000 года. Доклад опубликован в 2002 г. Именно Белл в 1964 г. показал, как превратить мысленный эксперимент в реальный, предложив экспериментаторам мощный аппарат в виде математических неравенств, получивших название “неравенства Белла”.

⁹ Связь между квантовой механикой и сознанием предполагалась многими учеными, начиная с основателей квантовой механики (Н. Бор, В. Гейзенберг, В.Паули).

¹⁰ Так совершенно неожиданно трансперсональная психология получила поддержку со стороны квантовой механики.

¹¹ Впервые о «невозможных предметах» типа круглый квадрат в начале прошлого века заговорил А. Мейнонг при создании теории предметности (см. [Мейнонг 2011]), которая абстрагируется от материального атрибута существования самих предметов.

¹² Сам термин введен А. Линде в 1986 г.

¹³ Как только характерные размеры станут меньше 0,1 микрона – вступят в действие законы квантовой физики.

¹⁴ См. также глубоко содержательную лекцию А. Линде «Многоликая Вселенная» (с иллюстрациями), прочитанную 10 июня 2007 г. в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (http://elementy.ru/lib/430484).

¹⁵ См. его книгу [Грин 2011], ставшую необычайно популярной.

¹⁶ На эту же тему см. книгу [Какý 2008].

¹⁷ Имеется популярное изложение этой концепции в статье на русском языке [Тегмарк 2003], где приводится четырехуровневая классификация мультиверса.

¹⁸  Есть константа 0 и одноместный функционал S, посредством которого строятся термы 0, S(0), S(S(0)), …, затем мы их интерпретируем как натуральные числа.

¹⁹ Под этим понимается построение единой и окончательной физической теории, состоящей из красивого и простого ансамбля нескольких уравнений, объясняющих все силы взаимодействий, происходящих во Вселенной (см. книгу [Вайнберг 2008]). Однако мы знаем, что в силу предела Чейтина этого сделать нельзя. К тому же сложность описываемого объекта может стремиться к бесконечности или вообще быть таковой. Если только не допустить, что сложность самого человека больше, чем сложность Вселенной… Интересно, что М. Гелл-Ман (нобелевский лауреат по физике, создатель теории кварков) для того, чтобы избежать проблемы бесконечной сложности Вселенной, вводит категорию возможности, предполагающую концепцию множественности историй [Гелл-Ман 1995].

²⁰ См. вступление редактора журнала “Logic and Logical Philosophy” Е. Пежановского к специальному выпуску этого журнала «Онтологика. Эссе по формальной онтологии» (No. 2, 1995). См. также [Анисов 2012].

²¹ Так называется раздел в книге [Виленкин 2011].

Приложение

Альтернативная реальность: Гай Юлий Цезарь

10 января 705 г. от основания Рима[1] ранним утром на берегу Рубикона стоял Гай Юлий Цезарь, проконсул Галлии. Река отделяла его провинцию от Италии, и Цезарь знал, что переход через Рубикон с армией, согласно конституции, означает объявление войны. Было жарко, хотя солнце еще не успело подняться высоко и его красный шар на молочно-белой пелене неба, казалось, наполнял воздух духотой и какой-то непонятной тяжестью, мешая сосредоточиться на главном.

А главным было то, что в ответ на предательство сената, объявившего его врагом отечества и призвавшего граждан к оружию, поставив во главе армии Помпея, Цезарь собрал солдат 13-го легиона (Legio XIII Gemina)[2] и два часа назад обратился к ним с пламенной речью. Эту речь произнес великий полководец, который двадцать девять лет воевал за величие Рима, никогда не отступая, несмотря на кинжалы и заговоры убийц, мечи германцев и волны неведомого Океана. Он говорил о черной неблагодарности за завоевание Галлии, которую уготовила знать армии и ее полководцу[3]. Теперь солдаты были готовы идти за Рубикон и только от решения Цезаря зависела его судьба и судьбы мира.

Однако он медлил. Глядя на пылающее солнце, Цезарь попытался глубже вздохнуть, но воздух не шел в легкие. Он почувствовал сильное головокружение и пошатнулся, успев заметить, как от звона доспехов разлетелась в стороны стайка мелких рыб. Потом в глазах потемнело, река исчезла и на фоне необъятного небосвода, покрытого стремительно несущимися облаками, перед ним возникла странная ужасная картина.

Это были два огромных существа, состоящие из деформированных, как бы случайно сросшихся частей человеческого тела, которые продолжали расти и меняться на глазах. Одно существо состояло из искаженного болью лица, человеческой груди и ноги; второе – из двух рук, исковерканных самой природой, и тазобедренной части. Сцепленные между собой в жуткой схватке, эти существа-мутанты внушали страх и отвращение как тело, разрывающее само себя. Цезарь сразу понял, что это – предчувствие гражданской войны. Знак, который он как-будто уже видел. «Но где? Может быть в Испании?» – подумал Цезарь. Да, он там воевал в молодости. Ничем не примечательная провинция. «Надо будет вернуться туда с парочкой легионов и разобраться, в чем дело. Нет, – продолжал он вспоминать, – это было гораздо позже…».

Внезапно от реки поднялся свежий ветер, и вместе с ним из воды взметнулась вверх небольшая серебристая рыбка, едва не коснувшись его колен. «Еще один знак, – подумал Цезарь, – и какой удивительный». Не обращая больше внимание на пламенеющее солнце, он распорядился разбить у реки лагерь и второй раз послал гонцов для переговоров, но не в продажный сенат, а напрямую к Помпею. Ведь когда-то они были друзьями, вместе с Крассом создали триумвират, и Цезарь даже отдал ему в жены свою единственную дочь Юлию. Говорят, они были счастливы. Если бы она не умерла так рано… Но теперь главное – не допустить гражданской войны.

Цезарь не знал, что Помпей, обычно нерешительный и медлительный, за несколько дней до этого увидел себя во сне в Египте обезглавленным и сейчас, выше по течению, переходит  Рубикон со своим легионом. Вскоре в лагере раздался звон мечей, предсмертные крики и стоны. Натиск был столь внезапным, что 13-й легион был полностью уничтожен, а Юлий Цезарь погиб как герой, успев обагрить свой меч кровью врага. Последнее, что он увидел перед смертью – были какие-то два урода. Один, рябой, в высоких черных сапогах, а другой, бесноватый, с небольшими усиками, сначала заклинали его не умирать, но потом вдруг сами начали распадаться. И только переходя в подземный мир, Цезарь понял свою главную ошибку: он так и не произнес эти гордые слова: «жребий брошен» и не двинул свой легион на Рим. «Это богиня подземного царства Геката Тривия наслала на меня безумие и погрузила во мрак», – горестно подумал Цезарь. Но мрак вдруг исчез, и все озарилось ослепительным ярким светом…

Рубикон же потемнел от крови, и багровая пена билась о берег в прибое. По щиколотку в этой пене стоял Гней Помпей Великий и смотрел на мертвого Цезаря. В руках он держал тот самый меч, который консул Клавдий Марцелл, появившись 13 декабря в Куманской вилле Помпея, вручил ему для защиты свободы.

Многие современники и последующие историки отметили одно следствие этого побоища: республика в Риме просуществовала еще полтора столетия. Сенека как-то сказал: «Диктатура – это не гибель страны, а гибель богов». Наиболее прозорливые исследователи указывали (и здесь особенно стоит отметить небезызвестного А.С. Беловежского), что сражение у реки Рубикон каким-то неведомым образом повлияло на весь ход мировой истории, и именно по этой причине к началу двадцатого века все диктаторские режимы  сошли на нет…

Конечно, обсуждаемое нами историческое событие оказало огромное влияние на европейскую литературу и искусство в целом. Приведем только первую и последнюю строку героической поэмы Вергилия «Рубикон», наполненной величием и стоической непоколебимостью:

                        Nescio, quid Rubico est, || quo nos ducentve profunda

                                   [Я не знаю, каков Рубикон,

                                         И куда заведет глубина.]

                        ..………………….……………………………….

                        Est lex, quoque die || transire iubens Rubiconem

                                   [Есть на свете великий закон:

                                         Каждый миг проходить Рубиконы.][4]

            Но, пожалуй, самым впечатляющим отголоском того сражения стала известная картина великого французского художника Жака Луи Давида «Рубикон»[5]. На холсте, размером 621×979 см, маслом запечатлен финал  битвы: волны реки, обагренные кровью, всюду порубленные воины 13-го легиона и эта багровая пена, в которой по щиколотку стоит с обнаженным мечом Помпей Великий и смотрит на мертвого Цезаря. А в правом верхнем углу изображена молодая женщина на коленях, которая со скорбным лицом протягивает оливковую ветвь.

            Феномен этой картины поразителен и рациональному объяснению не подлежит. Огромный зал, где расположена картина, всегда заполнен посетителями со всех концов света, застывшими в немом оцепенении. Когда у них потом спрашивают, что с ними  происходило, то все отвечают одно и то же: они оказались внутри той реальности, не в сегодняшней суете, а там, в настоящей реальности, они слышали звуки утихающей битвы и голос умирающего Цезаря.

Примечания