От редакции: пользуемся случаем поблагодарить Василия Яковлевича Перминова за постоянное сотрудничество с журналом «Вопросы философии»

На основе понятия практики обосновывается априорность категорий и логики. Приводятся аргументы в защиту положения о реальности исходных математических теорий, таких как арифметика и евклидова геометрия.

Using the notion of praxis shows that categories and logic are a priori conceptual structures. The author argues the reality of primary mathematical theories such as arithmetic and Euclidean geometry.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: практика, категории, логика, арифметика, евклидова геометрия, априоризм, математический реализм.

KEY WORDS: praxis, categories, logic, arithmetic, Euclidean geometry, apriorism, mathematical realism.

Многие современные философы склонны думать, что математические объекты – лишь мысленные конструкции и, в отличие от объектов физических, не связаны каким-либо обязательным отношением к реальности. Считается, что, обладая логической определенностью, они не имеют отношения к отражению свойств и отношений реального мира. Такое воззрение защищал в начале прошлого века Л. Брауэр, который утверждал, что математические понятия – лишь конструкции на основе априорной интуиции времени: если бы человечество вымерло, писал он, то физические зависимости продолжали бы существовать, но не осталось бы никаких собственно математических законов. Близкое воззрение на природу объектов математики излагает К. Поппер в книге «Объективное знание»: «Я полагаю (в отличие от Кронекера), что даже натуральные числа суть произведение людей, продукт человеческого языка и человеческой мысли» [Поппер 2002, 159–160]. Это точка зрения конвенционализма и конструктивизма.

 Однако уже со времен пифагорейцев и Платона существует другое, прямо противоположное воззрение на природу математических объектов. Математические объекты, по крайней мере, такие как числа и фигуры понимаются не как конструкции разума, а как отражение глубинных форм окружающего нас мира. Сильный довод в пользу этого воззрения состоит в том, что удаленные друг от друга древние цивилизации строили математику на одних и тех же понятиях, которые не утратили своего значения до настоящего времени. Размышления над такого рода фактами приводят нас к выводу, что математические представления не произвольны, а отражают отношения, принадлежащие самой структуре мира. «Математика, – писал Г. Штейнгауз, – не шахматная игра, правила которой могут быть изменены по нашему произволу, поскольку ее принципы отражают реальность» [Штейнгауз 1974, 111]. Это точка зрения платонизма или математического реализма.

 Хотя реалистическое воззрение на математику сформировалось в глубокой древности, оно все еще существует на уровне некоторой метафизической гипотезы, без общепринятого гносеологического разъяснения. Остается неясным главный вопрос: если математические абстракции – отражение значимых сторон реальности, то что это за стороны и как может быть понято отражение реальности, проявляющееся в построении столь устойчивых, по своей сути, внеисторических понятийных систем. Ниже будут изложены некоторые соображения в защиту реалистической трактовки математических объектов, проистекающие из праксеологического понимания фундаментальных категорий мышления.

1. Основные подходы к пониманию статуса математических истин

 Первой философией математики был пифагореизм, рассматривающий математические истины как подлинное знание (эпистеме), в отличие от мнения (докса), относящееся ко всем другим предметам, кроме математических. Значение Пифагора и Парменида состоит в том, что они впервые ввели центральное для всей античной философии разделение мира преходящего, познаваемого чувствами, и мира неизменного, познаваемого непосредственно разумом. Этот идеальный, неизменный мир получил название космоса. Математика в системе пифагорейского мышления занимала центральное место, ибо она в соответствии с их представлениями описывала вечные законы космоса и по этой причине сама содержала в себе только истинные утверждения. В пифагорейско-платоновской философии математика несомненно реальна, ибо она является картиной космоса как высшей реальности. Историки математики неоднократно отмечали тот факт, что понимание математики как картины космоса оставалось характерным для греческого мышления в течение многих столетий. Является общепризнанным, что Евклид строил систему геометрии не как аксиоматическую теорию в современном ее понимании, а как определенного рода космологию, как учение о пространственной и количественной основе мира.

 Пифагорейско-платоновская философия математики была поколеблена аристотелевским взглядом на математику как на систему абстракций, полученных из рассмотрения вещного мира. Для Аристотеля математика первична по определению, но вторична по бытию. Объекты математики не существуют в вещах и не существуют вне вещей, они являются мысленными отвлечениями от реальных форм вещей. «Геометр и исследователь чисел, – пишет Аристотель в “Метафизике”, – полагают отдельно то, что отдельно не существует» [Аристотель 1976, 326]. Важнейшее методологическое продвижение Аристотеля состоит в понимании статуса абстракции как чисто умственного образования и как отдельного объекта рассмотрения. От Аристотеля идет эмпирическое истолкование математики, которое было принято такими учеными, как Ф. Бэкон, Д. Локк, И. Ньютон, К. Гаусс, Н.И. Лобачевский, Б. Риман, А.Н. Колмогоров.

 Философия математики Нового времени началась с Декарта, который объявил математику системой врожденного знания. По его мнению, аксиомы математики покоятся на общезначимой интуиции, которая более надежна, чем сама дедукция. Позиция Декарта нашла поддержку у Спинозы, Мальбранша и Лейбница. Лейбниц также полагал, что математические истины врождены («потенциально находятся в душе человека») и что они аналитичны в том смысле, что их можно посредством конечной процедуры свести к системе тавтологий типа А = А. Он считал, что принципы математики относятся к реальности и заключают в себе глубинные истины о строении мира, не доступные для опытного познания. В сущности, эта позиция – лишь переложение пифагорейского верования в то, что человеческий разум как таковой, без помощи чувств, способен восходить к постижению законов космоса. Новое в позиции Лейбница заключалось в его попытке натурфилософского объяснения этого факта. Человек как монада связан с богом как монадой всех монад и вследствие этой связи он, по мысли Лейбница, может обладать системой необходимых истин, природа которых не может быть объяснена на основе чувственного опыта.

 Кант углубил лейбницевское понятие априорных (необходимых) истин. Главное достижение кантовской теории познания состоит в разделении содержания и формы мышления и в обосновании того факта, что математическое знание относится к форме мышления и обладает принципиально иным статусом, чем знание, основанное на опыте. Кант отделил априорность от врожденности и высказал безусловно правильное положение о синтетичности математического знания. Он, таким образом, отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления, а также и от логики как от системы аналитических априорных истин. Математика обладает, по Канту, статусом трансцендентальности: она абсолютно значима для сознания, но не имеет никакого отношения к миру вещей самих по себе. Кантовская философия математики является, таким образом, первой отчетливой антитезой платоновскому реализму.

 Философия науки XIX в. отвернулась от идеи априоризма. Ведущей идеей стала идея эмпирической детерминации развития теоретического знания. Этот поворот сказался и на философии математики. О. Конт, Дж.Ст. Милль, Г. Гельмгольц, Г. Спенсер, Э. Мах пытаются восстановить аристотелевский подход к пониманию математических понятий, понять значение обыденного и научного опыта для становления исходных математических представлений. Гельмгольц и Мах высказывают положение, что геометрия могла появиться только в мире твердых тел и их движений. Милль и Пуанкаре выдвинули идею конвенции, согласно которой исходные математические представления – не прямое отражение опыта, а некоторого рода логическая конструкция, обусловленная опытом. Математические идеализации, с этой точки зрения, безусловно, отражают опыт, но как логические конструкции они не зависят от опыта и имеют вневременное значение. Г. Спенсер наметил подход к пониманию устойчивости логических и математических представлений с точки зрения теории эволюции.

 В начале XX в. Э. Гуссерль предпринял попытку восстановить априористское понимание исходных представлений математики. Важное достижение Гуссерля состояло в том, что он освободил априорное знание от остатков антропоморфизма, имеющих место в кантовской теории. Кант не исключал того положения, что существа, отличные от человека, могут иметь другие априорные представления. С точки зрения Гуссерля, априорные представления не зависят ни от объекта, ни от субъекта мышления и являются совершенно одинаковыми для любого познающего существа, будь это люди, чудовища или боги. Это, несомненно, более правильное понимание природы априорного знания. С другой стороны, Гуссерль предпринимает попытку связать априорное с реальным, намечая зависимость эйдосов как априорных структур сознания от системы фактов. Он вводит понятие идеации как особого способа восхождения от опыта к сфере априорных представлений. Это понятие, однако, остается у него не разъясненным, и в конечном итоге он приходит к некоторой форме эмпиризма, который заметен в его последних работах. Становление геометрии, по его мнению, было бы невозможно без протогеометрии – грубой эмпирической геометрии, создаваемой в практике измерений [Гуссерль 1970, 28]. Но как понять процесс, который ведет от протогеометрии к геометрии как к идеальной и вневременной структуре? Понятия абстракции, идеализации и формализации здесь ничего не объясняют.

 Эмпиризм Гельмгольца и Маха в XX в. был углублен Г. Динглером. Принципиально важный момент, появляющийся в философии Динглера, – это понятие практики и эксперимента. Концепция Динглера направлена против мнения Пуанкаре, согласно которому ни одна из геометрий не может быть объявлена более истинной, чем другая. По мнению Динглера, евклидова геометрия имеет особый статус, она, в отличие от всех других геометрий, обладает реальностью и истинностью. Принципы евклидовой геометрии, по мнению Динглера, абсолютны, поскольку они проистекают из наших требований к физическому эксперименту. Эксперимент должен быть воспроизводим, но это возможно лишь в том случае, если он будет составлен из воспроизводимых частей и геометрических форм, обеспечивающих соподчинение этих частей. Определяющей геометрической формой является плоскость как наипростейшая поверхность, обе стороны которой одинаковы. Преимущество этой геометрической формы состоит в том, что она воспроизводима. Техническое искусство с древнейших времен ориентировано, по Динглеру, прежде всего на производство плоских поверхностей. Плоскость не просто мыслится, как это думал Кант, она производится, вносится в предметную реальность. В отношении плоскости мы вправе говорить об априори изготовления. Физический эксперимент, считает Динглер, требует принятия установок евклидовой геометрии как его априорной структуры. В сфере эксперимента, говорит он, «скрылись платоновские идеи, после того как для них более не осталось места в безотрадном мире чистого эмпиризма» [Динглер 1997, 103]. Динглер был убежден, что он доказал реальное существование евклидовой геометрии, и соответственно, несуществование альтернативных геометрий. Неевклидовы, многомерные и другие возможные геометрии существуют, по его мнению, только как логические системы, они могут занимать определенное место в структуре теоретического знания как функции, связывающие показания экспериментов, но они не существуют как реальные или метафизические.

 Исследование логических оснований математики в ХХ в. привело к возвращению к платоновскому реализму, к идее существования абстрактных математических объектов в некотором идеальном мире. Начало было положено К. Геделем, который в статьях «Расселовская математическая логика» (1944 г.) и «Что такое континуум-гипотеза?» (1947 г.) высказал убеждение, что за основными понятиями теории множеств скрываются объекты, данные нам во внечувственной интуиции. Он писал: «Несмотря на их несхожесть с чувственным восприятием, мы имеем нечто подобное ему также и для объектов теории множеств, что усматривается в том факте, что аксиомы теории множеств навязаны нам как несомненно истинные» [Гедель 1964, 484]. Если принять это положение Геделя, то мы должны думать, что, кроме физической (чувственной) реальности, должна существовать еще некоторая идеальная реальность, воспринимаемая в интеллектуальной интуиции и навязывающая нашему сознанию аксиомы математики.

 Некоторая версия математического реализма возникла также в рамках эволюционной философии. Эволюционная эпистемология стремится понять априорные принципы сознания как выработанные и закрепленные эволюцией механизмы сознания, предвосхищающие объектную структуру мира и структуру возможного действия. Априорное в эволюционной эпистемологии реально, ибо оно относится к реальной структуре мира, но оно понимается теперь как подвижное, изменяющееся от эпохи к эпохе вследствие изменчивости самого мира и аппарата познания. Априорное знание, с этой точки зрения, – не форма мышления, независимая от его содержания, а отражение в сознании инвариантных структур реальности. Математическое знание приобретает в этой концепции статус устойчивой схематики мира, предназначенной для упорядочения изменчивых частей опыта [Лоренц 1997, 7].

 Из приведенного здесь краткого описания позиций уже видно, что идея реальности математики, будучи вполне осязаемой, не поддается однозначной концептуализации. Попытки соединить математические представления с реальностью на основе опыта, на основе интуиции, на основе понятия конвенции или на основе эволюционных представлений в одинаковой степени приводят к трудностям и противоречиям. Это заставляет нас думать, что мы упускаем нечто существенное в самой постановке вопроса.

 2. Реальность абстрактной математики.

 Первое изменение подхода, которое здесь представляется необходимым, состоит в том, чтобы разделить математическое знание на две части, существенно отличные друг от друга по своему происхождению и по своему отношению к опыту. Под первой математикой мы будем иметь в виду систему элементарных теорий, базирующихся на общезначимых интуициях. Это арифметика, евклидова геометрия и система интуитивно ясных логических норм, вовлеченных в обыденное и математическое мышление. Это та математика, о которой говорили Платон, Аристотель, Декарт и Кант. Философия математики вплоть до XIX в. опиралась исключительно на эти первичные, интуитивно ясные теории.

 В XVIII в. в математику вошли неевклидовы и многомерные геометрии. В середине XIX в. оформились в качестве завершенных дисциплин проективная геометрия, теория групп и теория множеств. Быстро совершенствовался и дифференцировался математический анализ, в особенности в его приложениях к математической физике, что привело к появлению математической теории поля, векторного и тензорного исчислений. Во второй половине века началось интенсивное развитие функционального анализа. Математики хорошо осознали тот факт, что традиционные теории более не играют главной роли в приложениях математики и не находятся в зоне ее интенсивного развития. Математика изменила свою структуру. Можно сказать, что традиционная математика окружила себя широким кольцом новых математических теорий, выходящих за ее пределы как по своему содержанию, так и по своим методам. Интуитивная ясность принципов математики утратила свое значение.

 Можем ли мы говорить о реальности новой математики в том же смысле, в котором Платон и Лейбниц говорили о реальности арифметики и евклидовой геометрии? Очевидно, что для утвердительного ответа на эти вопросы нет оснований. Новые математические теории не строятся на интуитивно ясных принципах и по условиям своего зарождения они не могут претендовать на описание мира в каком-либо смысле. Лобачевский ясно осознавал то положение, что его новая геометрия может и не иметь никакого отношения к реальности. «Очень вероятно, – писал он, – что евклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными» [Лобачевский 1951, 209]. То же самое говорил и Кантор о своей теории множеств: он видел в ней не транзиентную (внешнюю), а только имманентную истинность, заключающуюся в логической непротиворечивости [Кантор 1985, 79–80]. Новые математические теории строились преимущественно из логических соображений. Это особенно видно по исследованиям в области геометрии. Исходя из принципа построения неевклидовых геометрий, Д. Гильберт построил недезаргову и непаскалеву геометрии. Ясно, что такое чисто логическое расширение математического знания не содержит в себе никакой гарантии его реальности. Если исходные представления геометрии мы можем каким-то образом соединить с реальностью, то ничего подобного нельзя сказать о неевклидовых, недезарговых и непаскалевых геометриях. Ясно, что вторая (абстрактная) математика удалена от реальности гораздо больше, чем первая.

 История математики показывает, однако, что некоторая связь абстрактной математики с реальностью в действительности существует. Мы имеем здесь дело с явлением математического предвосхищения, которое состоит в том, что абстрактные математические теории, появившиеся из логических соображений, находят впоследствии физическую реализацию. В статье о Кеплере А. Эйнштейн писал: «Еще в древности люди придумали кривые, которые соответствуют простейшим законам. Наряду с прямой и окружностью среди них были эллипс и гипербола. Последние мы видим реализованными в орбитах небесных тел… Представляется, что человеческий разум должен свободно строить формы, прежде чем подтвердится их действительное существование» [Эйнштейн 1967, 123–124]. На эту закономерность как важную для понимания математического мышления указывал Н. Бурбаки в своей статье «Архитектура математики»: для изучения современной физики требуются разделы математики, которые не были изобретены с целью приложения к экспериментальным наукам [Бурбаки 1963, 258].

 Философия математики не выработала однозначного объяснения математического предвосхищения, и мы также не будем здесь останавливаться на этой проблеме. Мы примем указанную взаимосвязь физики и абстрактной математики как факт и попытаемся на этой основе понять приложимость понятия реальность к теориям абстрактной математики. Если бы абстрактная математика не имела указанной тенденции к приложениям, мы могли бы говорить о ней как о системе чисто логических структур, находящихся вне поля понятийных систем, имеющих реальную значимость. Явление математического предвосхищения, однако, дает нам некоторое основание говорить о реальности этих структур. Мы можем утверждать, что абстрактная математика связана с реальностью в том плане, что она является вероятной схемой внутренних связей будущей теоретической науки. Реальность абстрактных математических теорий состоит в наличии определенной положительной вероятности их эмпирической интерпретации.

 Такое понимание реальности абстрактной математики является отрицательным в том смысле, что мы приписываем абстрактной математике только возможную эмпирическую значимость и отрицаем ее метафизическую значимость. Она понимается только как система фикций, полезная для систематизации некоторого опыта.

 Можем ли мы это понимание реальности перенести на первую математику? Очевидно, что нет. Платон делал заключение о реальности геометрии, конечно, не из факта ее приложений, не из ее связи с физикой или с каким-либо опытом вообще. Представление о реальности евклидовой геометрии возникает из факта ее предельной интуитивной ясности. Мы осознаем, что в арифметике и в евклидовой геометрии мы имеем дело с некоторой фундаментальной онтологией мира, что сами эти структуры есть некоторая картина мира, выраженная в форме строгих законов. Мы приписываем первой математике не случайную эмпирическую значимость, а значимость метафизическую, которой не имеет абстрактная математика.

 Но это значит, что подлинная проблема реальности математики состоит в прояснении реальности первичной математики, а именно: арифметики и евклидовой геометрии. Здесь мы имеем дело с реальностью, которая не сводится к возможности приложений или эмпирической интерпретации, а так сказать, просвечивает в самих исходных интуициях. Мы снова возвращаемся к идее платонизма и к необходимости его гносеологического прояснения.

 3. Априорность и реальность категорий

 Представляется, что решение этой задачи зависит от понимания природы априорного знания. Наш основной тезис будет состоять в том, что априорное знание – это знание, формируемое универсальной практической ориентацией мышления. Второе положение, которое мы будем здесь защищать, состоит в том, что априорное знание – знание реальное, отражающее объективные условия акта деятельности.

 В общей теории познания подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания, а также высшим критерием истинности теорий и идей. К этим, несомненно, верным положениям необходимо добавить еще одно, состоящее в том, что практика является нормативной основой познания, источником универсальных норм, которым подчинено всякое знание. Это положение важно в том отношении, что приводит нас к пониманию природы априорного знания из естественных задач мышления.

 Если некоторая функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой системы, и общие законы ее развития могут быть поняты только при рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип должен быть руководящим и при анализе процесса познания. Познавательная деятельность человека – это функциональная часть его практической деятельности, а это значит, что высшие нормы, регулирующие познавательную деятельность, имеют праксеологическую природу и должны быть выведены из практической функции знания. Суть этого положения состоит в том, что всякое знание, сориентированное на практику, подчинено нормам, проистекающим из самой этой цели, а именно: из общей установки на эффективность знания. Это значит, что наряду с принципами, проистекающими из предмета исследования, которые различны для различных областей опыта, существуют универсальные принципы, проистекающие из общих целей знания и единые для всех его видов. Это принципы, определяющие универсальную форму знания. Априорное и апостериорное знание различаются в этом плане как знание телеологическое, заданное практической ориентацией мышления, и знание отражательное, определенное специфическими подразделениями опыта.

 Важно понять то обстоятельство, что только практика конституирует мир реальных предметов и структуру реальности в целом. Структура предметного мира выявляется в процессе деятельности, до актов познания и независимо от этих актов. С праксеологической точки зрения, предметная реальность первична перед познавательной деятельностью и она никоим образом не может быть понята как порождаемая активностью сознания на основе данных чувственности, как это думал Кант. Выявление структуры предметного мира – не функция чувственного восприятия и не функция знания вообще, а исключительно функция деятельности. Знание принципиально предметно в том смысле, что оно начинается только там, где уже выделен его возможный предмет. Структура предметной реальности – первичная структура сознания, обладающая беспредпосылочностью и строгой интерсубъективностью.

 В этом плане мы получаем общий подход к истолкованию понятия реальности. Мы должны признать, что практика является не только основой универсальных норм, но и основным индикатором реальности. Реально то, что выделено деятельностью и возведено на уровень интерсубъективности. Предметная структура мира реальна, ибо она выделена коллективной деятельностью. Предметные подразделения обладают высшей реальностью, ибо подтверждены всей совокупностью человеческой практики. Никакого другого критерия реальности у нас нет.

 Наряду с миром предметов как общезначимой чувственной реальностью деятельность формирует также структуру высшей нормативности, систему универсальных ограничений на содержание и логику мышления. Универсальная праксеологическая нормативность проявляется прежде всего в категориальных принципах. Всякое опытное знание строится как знание о чем-то материальном, как основанное на причинно-следственных связях, на различении объектов в пространстве и времени и т.п. Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общими требованиями к структуре предметных представлений, проистекающими из их практической функции. Теория, которая отказалась бы от различения объектов по пространственно-временным характеристикам, не подчинялась бы общим свойствам причинно-следственных связей, не отделяла случайное от необходимого и т.д., не могла бы быть квалифицирована как знание, ибо она заведомо не могла бы быть использована для координации действий в какой-либо сфере опыта. Для того чтобы быть соединенным с практикой, знание должно быть подчинено категориям практики, безотносительным к сфере опыта. Анализ практики указывает нам на истинные истоки априорных представлений.

 Мы убеждены, что каждое явление, даже самое незначительное, имеет достаточную причину своего существования. Каковы основания нашей веры в безусловную истинность этого принципа, что заставляет нас мыслить любое явление в контексте причинной зависимости? Опыт сам по себе не обосновывает необходимости причинного видения мира как универсального. Исходя из опыта мы можем утверждать, что наш мир является в достаточной степени причинно обусловленным, но никакой опыт не позволяет нам утверждать, что все явления причинно обусловлены. Существование человека и его способность влиять на события вполне совместимы с дефектами детерминации, с отступлениями от принципа причинности. Мы не знаем всех событий в мире и хорошо понимаем, что допущение отдельных беспричинных событий ничему не противоречит ни в теоретическом, ни в практическом плане.

 Безусловный характер принципа причинности становится, однако, совершенно понятным при рассмотрении деятельностной установки мышления. Каким бы ни был мир в своей основе – полностью или только частично детерминированным – мы можем влиять на него только посредством причинных связей, которые дают возможность, действуя на некоторое событие А, оказывать влияние на появление события В. Вся наша деятельность представляет собой попытку повлиять на будущее, и вследствие этого она органически связана с установлением причинных зависимостей, которые являются необходимой основой такого влияния. Это значит, что общий принцип причинности представляет собой не индуктивный вывод из множества наблюдаемых причинных связей, а констатацию универсальной направленности сознания на выявление причин, порождаемую актами деятельности. Вслед за Кантом мы можем утверждать, что принцип причинности – это не утверждение о мире самом по себе, а только регулятивный принцип сознания. Но этот принцип мы относим теперь не к природе сознания, но к структуре деятельности, в которую вовлечен познающий субъект. Он понимается теперь как проистекающий из деятельностной ориентации мышления.

 На этом примере мы можем уяснить двоякую природу онтологических категорий. Во-первых, они безусловно априорны, независимы от эмпирических подразделений, от характера объектов деятельности. Во-вторых, они безусловно реальны. В абсолютно хаотическом мире, где не было бы регулярных причинных связей, определяющих возможность действия, идея причинности вообще не могла бы возникнуть. Категориальные принципы – это не обобщения опыта, а идеализации, мотивированные деятельностной ориентацией субъекта. Важно то, что они фиксируют структуру реальности, значимую для действия, определяющую саму возможность действия. Принцип причинности, таким образом, не обобщение опыта, а лишь идеал реальности, ее проект, максимально благоприятный для деятельности. Априорность категориальных принципов, т.е. их универсальность и необходимость для сознания, не противоречат тому факту, что они являются вместе с тем и отражением реальности в ее наиболее существенных моментах. Это понятно в плане генезиса сознания: человеческое сознание, вписываясь в структуру реальности, с самого начала выделяет характеристики реальности, существенные с точки зрения деятельности, и возводит их в конститутивные принципы всякой реальности и в нормы мышления.

 Деятельностная трактовка категорий существенно меняет их кантовское понимание как имеющих свои истоки в рассудке и упорядочивающих мир явлений. Деятельностный подход отвергает абсолютную первичность сознания и абсолютную подчиненность потока феноменов его формирующей активности. Человек живет не в мире феноменов, а в мире материальных событий. В действительности первична деятельность и процесс вписывания действующего существа в мир. Категории, с этой точки зрения, отражают необходимые условия деятельности как аспекты мира, благодаря которым эта деятельность вообще возможна. Ни человек, ни какое-либо живое существо не могли бы вписаться в совершенно хаотический мир, в котором нет регулярного следования определенных следствий за определенными причинами. Практика не может осуществляться в любом мире и социальная практика, поскольку она существует, выявляет объективные стороны мира, делающие практику возможной. Причинность, время, необходимость, часть и целое – сущностные характеристики акта деятельности и отражение сторон мира, являющиеся условием деятельности. Юм и Кант правы в том, что опыт как таковой не дает нам оснований судить о существовании мира самого по себе. Но реальный мир, тем не менее, не иллюзия. Практика разрывает круг ощущений как психических феноменов и выявляет объективную структуру мира. Уайтхед совершенно прав в том, что только деятельность выводит нас за пределы Я в трансцендентный мир [Уайтхед 1990, 149]. Категории внеэмпиричны не потому, что они отражают лишь структуру самого сознания, а потому, что они отражают бытие лишь в тех характеристиках, которые выявляются деятельностью самой по себе, независимо от ее предметного (эмпирического) содержания. Категории внеисторичны вследствие инвариантности структуры деятельности и единства деятельностной ориентации субъекта. В категориях мы раскрываем особую реальность, не выразимую в эмпирических понятиях. Категории в этом смысле образуют первичную и абсолютно автономную сферу представлений. Мы будем называть эту сферу представлений категориальной онтологией или категориальным видением мира. Категориальная онтология представляет собой первичный и определяющий уровень априорного знания.

 Априористская теория познания сделала важный шаг вперед в понимании человеческого мышления, выявив в составе мышления наличие абсолютных, общезначимых и универсальных представлений, необходимых для определения любого опыта. Ее основная ошибка состояла в том, что она не дошла до понимания деятельностного отношения человека к миру и выводила априорные структуры сознания из природы самого сознания, приписывая им только идеальное или трансцендентальное значение. Деятельностная теория познания устраняет этот недостаток. Мы приходим к пониманию того факта, что за априорностью стоит фундаментальная реальность, а именно: реальность, выявляемая практикой. Деятельностные идеализации выявляют фундаментальные черты реальности, на основе которых формируются все другие определения реальности.

 Путь к пониманию реальности математических представлений лежит через понимание реальности категорий и реальности априорного знания вообще.

 4. Реальность арифметики

Для обыденного сознания истины арифметики получаются из операции счета, т.е. из некоторого взаимодействия с чувственными предметами, и по этой причине несомненно апостериорны. Но эта точка зрения искажает статус арифметики.

 Косвенное соображение в пользу положения об априорности арифметических истин проистекает из самоочевидности этих истин. Априорные истины даны сознанию с особой степенью очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логики. Но в таком случае сама аподиктическая oчeвидность может быть использована в качестве признака априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики, то должны будем признать, что они являются аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных операций. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверждениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические истины даны человеческому сознанию с непреложностью, и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.

 Для понимания статуса арифметики нам важно рассмотреть уровни универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной или динамической онтологией, так как в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.

 Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и постоянства их структуры, т.е. на идеальные представления о предметах как максимально удовлетворяющих условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления о причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности предметов, которые конечны в пространстве и времени, стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. В основе этой идеализированной структуры мира лежит разделение единичности и множественности. Действие конкретно, оно всегда направлено на некоторую вырванную из универсума единичность, и следовательно, предполагает универсальное (онтологическое) представление о единичности, систему признаков единичного вообще, продиктованную условиями деятельности. Из этих же соображений мы подходим и к пониманию онтологического представления о множественности. Множественность как арифметическое число часто определяется на основе эмпирического признака, например, через такое высказывание, как «множество зеленых яблок». Но деятельностная ориентация сознания поднимает наше представление о числе до абстрактного количества, не связанного с каким-либо конкретным эмпирическим признаком. Мы имеем здесь чисто предметную идеализацию множественности как возможного объекта действия, не имеющего в основе своего выделения какого-либо эмпирического основания. Понятие множественности, как и понятие единичности, имеет онтологическую основу: оно формируется как понятие, требуемое деятельностной установкой субъекта.

 Адекватное понимание арифметики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в ее основе лежат универсальные идеализации единичного и множественного, выработанные деятельностью. Аристотель говорит, что исследователь чисел полагает человека как единого и неделимого. Это правильное положение, но оно должно быть дополнено тем соображением, что образование понятий о едином и неделимом в процессе восприятия продиктовано не чистым стремлением к абстрактности, а универсальной деятельностной установкой мышления. В мире, который не обладал бы реальной дискретностью, деятельность была бы невозможна. Представления о единичности и множественности – онтологические представления, продиктованные деятельностной ориентацией мышления.

 Наивное эмпирическое представление об арифметике состоит в том, что мы извлекаем понятие числа и законы арифметики из опыта, а именно: из процесса счета. Но еще древние философы справедливо указывали, что операция счета предполагает представление о мысленной единице, независимой от опыта. Боэций говорит, что «существует два рода числа: одно, посредством которого мы считаем, другое, заключенное в исчисляемых вещах» [Боэций 1990, 149]. Это тонкое различение эмпирического и априорного в арифметике. Мы должны четко разделить единичность как (конкретную) эмпирически выявляемую дискретность предметного мира и единичность как онтологическую идеализацию, порождаемую деятельностной ориентацией субъекта. Без реальной дискретности нет счета. Но реальная дискретность неоднородна, неустойчива, реальные «единицы» сливаются, разделяются, появляются и исчезают. Онтологическая единица, на которой построена арифметика, однородна, постоянна, вневременна, не разделяется и не сливается с другими единицами. Онтологическая единичность и множественность – объекты идеализированной картины мира, созданные деятельностной ориентацией субъекта и имеющие надэмпирическое значение. Как и в случае с причинностью, мы имеем здесь дело с идеальной онтологической схемой, под которую подводится эмпирическая ситуация.

 Анализ процедур счета показывает, что они имеют смысл только в рамках представлений об идеальной предметности. Операции арифметики – это требования к идеальной предметности. Законы арифметики не порождены процедурами счета, а являются их условием, их убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из универсальных требований предметной онтологии, из онтологической идеализации единичности и множественности, которая продиктована предметной практикой вообще. Истина 2 + 3 = 5 не становится более убедительной с ростом числа ее повторений, ибо ее убедительность проистекает не из опыта, а из онтологии. Это значит, в частности, что законы счета нельзя опровергать примерами типа того, что если в клетку к тигру посадить двух зайцев, то получим, что 1 + 2 = 1. Дело в том, что эти популярные примеры разрушают идеализированное (онтологическое) определение единичности, в соответствии с которым задаются операции арифметики. Арифметика – не эмпирическая, а онтологическая теория, она выражает в себе не опыт, а онтологическую идеализацию, продиктованную деятельностью, и она не может быть опровергнута какими-либо фактами опыта.

 Эти соображения подводят нас к пониманию реальности арифметики. Априорность арифметики не означает, что понятие числа имеет свои истоки в разуме. Для того чтобы в мире был счет, мир должен быть в какой-то мере дискретным сам по себе, безотносительно к деятельности счета. Вопрос состоит лишь в том, чтобы понять, каким образом от этой реальной дискретности вещей и событий мы переходим к единичности и множественности в качестве абсолютных представлений сознания. Мы должны здесь снова возвратиться к понятию телеологического отражения. При самом формировании человеческого мышления дискретная структура реальности в силу своей необходимости для деятельностной ориентации субъекта сразу же возводится на уровень нормативной структуры, относящейся к объекту вообще. Эта онтологическая дискретность не отражает реальную дискретность во всем ее многообразии, а схватывает в себе лишь ее основу, значимую для деятельности. Арифметика реальна, ибо отражает в себе аспект дискретности мира, существенный для деятельности.

 Мы, таким образом, можем дать утвердительный ответ как на вопрос и об априорности арифметики, так и на вопрос о ее реальности. Арифметика априорна в том смысле, что понятийное мышление невозможно без использования арифметических представлений и арифметических операций, точно так же как оно невозможно без опоры на категории и логику. Но ясно также, что арифметика не система чистых отношений, присущих разуму самому по себе. Она в идеализированной форме отражает дискретность мира и отношения между атомами дискретного мира. Мы должны понять, что дискретность (атомарность) мира является необходимым условием деятельности и именно по этой причине представления о единичности и множественности возводятся на уровень общей схематики мышления, в статус априорности. Априорное знание не проистекает из природы разума как такового, как это думал Кант, но продиктовано деятельностным отношением человека к миру, оно представляет собой систему норм мышления, определенных его деятельностной ориентацией. Мы можем утверждать, что за каждым априорным представлением стоят фундаментальные отношения реальности, а именно: те отношения, которые определяют саму возможность деятельности. Априорное, таким образом, не трансцендентально идеально, но фундаментально реально. Основной недостаток традиционного априоризма состоял в непонимании тождества априорности и реальности.

 Этот недостаток отчасти был обусловлен узким определением реальности как данности в опыте. «Созерцание, соответствующее понятию реального, – писал Кант, – мы можем извлечь только из опыта, но никогда a priori из самих себя и до эмпирического осознания ее» [Кант 1964, 601]. Это ошибочная установка. В действительности фундаментальные реальные стороны мира выявляются не опытом, а деятельностью. Опыт, конечно, также говорит нам о реальности, но он не отделяет реальности необходимой от реальности случайной и реальности субъективной от подлинной (трансцендентной) реальности. Только деятельность выявляет необходимые (фундаментальные) черты реальности и по этой причине именно деятельностный критерий является исходным для идентификации всякой реальности.

 Законы арифметики не могут быть выведены из опыта на основе индукции. Формулируя эти законы, мы апеллируем к их самоочевидности и уклоняемся от анализа поведения эмпирических единичностей и эмпирических множеств. Представления арифметики – не обобщения опыта, но онтологические идеализации. Законы арифметики реальны в том смысле, что они отражают в себе деятельностно значимую идеализацию отношений между реальными множествами. Эта идеализация – не произвольная конструкция сознания, но идеальная норма всякой дискретности, диктуемая деятельностью. Реальность арифметики утверждается, таким образом, не эмпирически, не фактом ее широкого использования, а самим ее статусом как необходимой, деятельностно значимой структуры сознания.

 5. Реальность евклидовой геометрии.

 Представление о пространстве как пустоте не содержит в себе никакой геометрии, или точнее, оно совместимо с любой геометрией. В действительности законы геометрии определены свойствами движения. На этот момент впервые указал Беркли в своем известном эссе против Ньютона. «Когда я говорю о чистом или пустом пространстве, не следует предполагать, что словом “пространство” обозначается идея, отличная от тела или движения или мыслимая без них. <…> Если бы и мое тело было уничтожено, то не могло бы быть движения, а следовательно, и пространства» [Беркли 1978, 226]. Эту же мысль повторяет и развивает Э. Мах. Он указывает на определение прямой у Лейбница как множества точек, сохраняющих свое место при вращении тела около двух неподвижных точек, а также на способ механического определения плоскости через процедуру шлифовки поверхностей. Общий вывод его состоит в том, что геометрия фиксирует свойства твердых тел, т.е. тел, обладающих постоянством формы.

 Но здесь возникает затруднение. Почему математические идеализации, в отличие от физических, воспринимаются как абсолютные и неизменные? Мах признает, что евклидова геометрия выступает как законченная и в своем роде единственная. Он принимает это положение как факт сознания и признает, что во взглядах Канта есть некоторое зерно истины. Он полагает, что возможна новая теория априорного знания, соединяющая эмпиричность и априорность геометрии [Мах 2009, 447].

 Конвенционалисты пытались снять эту трудность, объявив представления геометрии соглашениями, которые не могут быть опровергнуты в сфере опыта. Но это лишь видимое решение проблемы. Очевидно, что для нас существенно не то, что геометрия не может быть опровергнута опытом, а то, что никакой опыт не может существовать без представлений, заключенных в геометрии. Но это последнее обстоятельство не может быть выведено из конвенционального характера геометрических аксиом.

 Деятельностная установка решает это затруднение. Мы должны понять праксеологическую природу геометрических идеализаций, а именно тот факт, что исходные представления евклидовой геометрии порождаются не опытом и не физическими представлениями о движении, а универсальной деятельностной онтологией мышления. Э. Мах высказал совершенно правильную идею, что понятия прямой и плоскости проистекают из понятия твердого тела. Но мы приходим к противоречию, если будем истолковывать понятие твердого тела как физическую идеализацию. В этом случае мы должны будем признать, что геометрия возникает на основе физических идеализаций и изменяется вместе с ними. Праксеологический подход позволяет устранить это противоречие. Мы должны понять, что идея твердого тела существует прежде всего как праксеологическая идеализация и именно она является истоком геометрических представлений, формирующихся до формирования собственно физических идеализаций.

 Логика становления геометрических представлений определена практикой. Деятельность предполагает прояснение пространственной структуры предметности и прежде всего определение формы тел и их расстояний друг от друга. Прямая линия появляется здесь в качестве необходимого представления. Дело в том, что, кроме прямой, у нас нет никакого другого воспроизводимого эталона для измерения расстояний и объективного их сравнения. Никакая кривая не может этого делать, ибо при переходе от предмета к предмету мы можем воспроизвести прямизну, снова натянув нить, но не можем воспроизвести устойчивую кривизну без сложного теоретического и инструментального определения. Необходимость ориентации в предметном мире выделяет представление о прямой линии как основу наших пространственных представлений, необходимую для фиксации любого опыта и для организации любой деятельности. Аналогичным образом мы выделяем плоскость из всех других поверхностей как наиболее простую форму, определяемую на основе понятия прямой линии. Мы можем сказать, что исходные представления евклидовой геометрии выдвинуты как преимущественные практической ориентацией сознания, приняты как необходимые для структуризации объекта деятельности.

 В отличие от теории, практика как в своей внутренней структуре остается исторически неизменной. Человек в своем соприкосновении с миром всегда имеет дело с телами, находящимися на определенном расстоянии друг от друга, претерпевающими те или иные перемещения в пространстве. Техническое оснащение практики ничего не меняет. Все наши инструменты нацелены на свойства твердых тел как на ее исходный объект. Общезначимость и устойчивость евклидовых представлений для сознания объясняется их включенностью в предметную практику в качестве универсальных структурирующих представлений. Идеализации евклидовой геометрии онтологичны по своей сути, так как они представляют собой универсальную основу для классификации отношений предметности в актах деятельности.

 Эмпирики правы в том, что за исходными понятиями геометрии стоят представления о телах и их взаимных расположениях. Но и законы механики произошли из той же сферы опыта. Важен не объект отражения, а способ восхождения к понятиям. Исходные математические понятия отражают вневременный аспект бытия, выявляемый практикой, значимый для практики и закрепленный в универсальной онтологии. Геометрические понятия рождаются не абстракцией, но деятельностной ориентацией сознания и по способу своего образования они имеют внеэмпирический характер как относящиеся к объекту действия вообще. Милль, Гельмгольц, Мах не ошибались, связывая само существование евклидовой геометрии с движением и взаимным расположением твердых тел. Это верные соображения, показывающие укорененность геометрии в реальных жизненных отношениях. Но было упущено из виду, что геометрические понятия сформировались не как обобщения опыта и не как конвенции, а как онтологические идеализации, продиктованные практикой. Статус геометрических понятий не может быть объяснен в соответствии со схемой формирования эмпирических понятий.

 Евклидова геометрия является исключительной геометрией, она является онтологически означенной или онтологически истинной. Именно эта геометрия включена в любую деятельность как структурирующая предмет деятельности. Все другие геометрии существуют как формальные структуры, имеющие возможность получить эмпирическую интерпретацию, но не имеющие онтологического значения. В этом состоит ее особое значение для математики и для философии. Именно евклидова геометрия есть система представлений, структурирующих предметность в формах, максимально пригодных для действия. В этом смысле евклидова геометрия – единственная геометрия, обладающая реальностью.

 Как и в случае с арифметикой, нам важно здесь понять связь априорности и реальности. Геометрия априорна, она представляет собой необходимую структуру мышления. Но она априорна не потому, что не имеет отношения к реальности самой по себе, как это думал Кант. Геометрия априорна потому, что отношения, фиксируемые в ней, фундаментально реальны, они имеют значение для всякого акта деятельности как его необходимая структура. Признание априорности евклидовой геометрии означает не отрицание ее реальности, но указание на ее глубинную реальность, на ее связь со структурами реальности, определяющими само бытие действующего и мыслящего субъекта.

 6. Критические замечания к современным подходам

 Реалистическая установка в современной философии математики возродилась в 30-х – 40-х годах прошлого века в связи с провалом программ обоснования математики. Все программы обоснования ставили своей задачей обосновать бесконечное (теорию множеств) на основе конечного, а именно на основе арифметики и логики. Теоремы Геделя показали, что эта стратегия бесперспективна. Если математика и может быть логически обоснована, то сама база обоснования уже должна содержать в себе понятие бесконечности, оправданное прямой ссылкой на реальность. Известные высказывания Геделя о реальной основе множеств и классов намечали именно эту идею прямого оправдания аксиом теории множеств.

 Изложенные здесь соображения позволяют понять несостоятельность этого замысла. Если мы можем привлечь соображения о реальности для обоснования надежности математической теории, то это может быть сделано только в отношении первичных теорий, таких как логика, арифметика и евклидова геометрия. Теория множеств как теория второй (абстрактной) математики не может быть поставлена в связь с универсальной онтологией и не может быть обоснована в рамках философии реализма. Заблуждение современного математического реализма состоит в стремлении приложить понятие реальности к вторичным теориям, таким как комплексный анализ, теория групп и теория множеств.

 Показательной в этом отношении является книга П. Медди «Платонизм в математике», которая ставит своей задачей выявить реальные основания понятия множества, и соответственно, реальные основания теории множеств в целом [Медди 1990]. Основная идея, из которой она исходит, состоит в том, что понятие математического множества возникает в процессе восприятия реальных агрегатов вещей при особой направленности процесса восприятия. По ее мнению, наряду с эмпирическим восприятием существует некоторый его аналог (имеющий основание в устройстве нервной системы), который приводит к образованию специфической математической абстракции (например, числа «три» при рассмотрении трех яиц, лежащих на столе). Фактически здесь делается попытка понять расщепление факта и эйдоса через натуралистический анализ процесса восприятия. Спорный момент в подходе Медди состоит в попытке вскрыть реальные основания такой математической теории, как теория множеств. Свойства априорности и реальности (онтологической значимости), как мы выяснили, принадлежат лишь исходным математическим теориям, таким как арифметика и евклидова геометрия, непосредственно связанным со структурами практики. Хотя в понятиях теории множеств присутствуют интуиции элементарной математики, она включает в себя и чисто конвенциональные отношения, не поддающиеся реалистической интерпретации.

 Незаконное перенесение реализма из традиционных областей математики в современные области мы видим в трактовке математического реализма в книге Р. Пенроуза «Новый ум короля». Обсуждая проблему реальности в математике, Пенроуз ставит вопрос следующим образом: являются ли математические теории фикциями, изобретениями человеческого ума, или они открываются нами как предсуществующие? [Пенроуз 2003, 88]. Примеры, которые он рассматривает для подтверждения своей реалистической позиции, показывают что в действительности речь идет у него не о реальной (метафизической) подоснове математических объектов, но об их объективной определенности в системе математического знания. Множества Мандельброта, о которых у него идет речь, конечно, объективно определены операциями с комплексными числами, но мы не можем им, в отличие от арифметики и евклидовой геометрии, приписать реальную (метафизическую) значимость. То обстоятельство, что множества Мандельброта открываются нами, не говорит о том, что они реальны. Вместе с Поппером мы можем думать, что эти множества уже определены нами в своих свойствах вместе с принятием комплексных чисел как некоторых конвенций или конструкций. Пенроуз говорит в действительности не о реальности объектов, но об их объективности, об их необходимости во внутренней структуре математического знания. Все объекты второй (абстрактной) математики, несомненно, объективны в этом смысле, но это не означает, что они реальны. Мы можем говорить только об эмпирической реальности этих теорий, которая проявляет себя как вероятная возможность их превращения в аппарат описания для эмпирических наук. Теория комплексных чисел, конечно, реальна в этом эмпирическом смысле, но мы не имеем оснований приписывать ей статус метафизической реальности.

 Наиболее близкой к истине является праксеологическая позиция Г. Динглера. Он прав в том, что образы прямой и плоскости как база геометрии не случайны, но связаны с практическим вмешательством человека в отношения реального мира. Динглер ясно осознал то важнейшее обстоятельство, что понятие реальности в действительности определяется деятельностью, т.е. практическим вмешательством человека в процессы природы. Эта позиция дает ему критерий для различения объективных и реальных теорий математики. Только евклидова геометрия реальна, все остальные геометрии – лишь формальные конструкции, которые способны выполнять роль установления функциональных связей в эмпирической науке. Недостаток теории Динглера состоит в том, что она не разделяет механических и онтологических идеализаций и пытается понять геометрические понятия в качестве конвенций, обусловленных физическим экспериментом. Дефекты теории Динглера можно выразить в следующих положениях:

1. Манипуляции с твердыми телами в плане их изготовления – слишком узкая база для обоснования априорности математики. В лучшем случае мы намечаем здесь подход к обоснованию априори в геометрии, оставляя в стороне вопрос об априорности категорий, логики и арифметики. Но обоснование априорности математики без обоснования априорности форм мышления вообще представляется бесперспективным.

2. Динглер прав в том допущении, что в основе исходных геометрических представлений лежит представление о твердом теле. Но твердое тело существует как физическая идеализация и как онтологическое представление, обусловленное исключительно актами деятельности. Евклидова геометрия возникает не на основе физических идеализаций, как думает Динглер, а на основе онтологических представлений об объекте действия, которые предшествуют физике и всякой специальной науке. Первичные образы геометрии обусловлены установками деятельности и не имеют никакого отношения к физическим идеализациям и к физическому эксперименту.

3. Априорное у Динглера смешивается с конвенциональным. Выбор плоскости в качестве исходного образа обусловлен, по его мнению, возможностью ее практической реализации. В другом мире или при некоторых других технических возможностях – здесь мог бы быть другой образ и другая система геометрии. С праксеологической точки зрения система исходных представлений геометрии обусловлена только деятельностной ориентацией мышления и не имеет отношения к возможности технической реализации. Прямая и плоскость – не конвенции, определенные привходящими обстоятельствами, а онтологические идеализации, обусловленные только целью мышления, его направленностью на действие.

 Тем не менее важно подчеркнуть оригинальность и значимость теории Динглера. Заслуга Динглера состоит в том, что он понял связь геометрической реальности с практической стороной человеческого бытия. Мы имеем здесь принципиальный сдвиг в понимании математической реальности, который должен быть исходным при всех подходах к разъяснению этого понятия.

 7. Заключительные замечания

 Математики всегда осознавали фундаментальность арифметики и евклидовой геометрии как основания математической науки и как нормативного основания человеческого мышления вообще. Платон, Декарт, Лейбниц, Кант, Гуссерль в своих философских построениях исходили из твердой веры в абсолютность исходных математических представлений. Приведенные соображения показывают, что эта вера имеет объективные основания, она обусловлено онтологическими истоками этих структур, связью их содержания с подразделениями реальности, выявляемыми деятельностью.

 Мы выяснили, что математика разделяется на два типа теорий и вопрос о реальности решается по-разному для каждого из этих типов. Если мы говорим о абстрактных теориях математики, то мы можем понимать их как чистые (формальные) схемы, имеющие определенный шанс получить эмпирическую интерпретацию и реализацию в некоторой прикладной сфере. Реальность этих теорий чисто эмпирическая и случайная, она состоит в возможности их содержательной интерпретации. По отношению к этим теориям Поппер прав: это общезначимые человеческие конструкции, граждане третьего мира, которые могут оказаться значимыми для тех или других областей эмпирического знания. Здесь не стоит вопрос о необходимой связи с реальностью: некоторые из этих структур могут оказаться чисто фиктивными, не имеющими коррелята. Попытки найти фундаментальную реальность, заключенную в понятиях класса, множества, функции и т.п., которые предпринимаются в современных работах по философии математики, представляются с этой точки зрения бесперспективными, не имеющим оправдания в сути абстрактной математики

 Но если мы говорим о первичной (евклидианской) математике, то ее отношение к реальности совершенно иное. Интуиции евклидианской математики укоренены в структурах человеческой деятельности и представляют собой фундаментальную онтологию мира. Они априорны, необходимы для мышления и реальны в своей основе. Причем реальность должна пониматься здесь не как возможность эмпирической интерпретации, как в случае абстрактных структур, а как укорененность исходных интуиций в структурах деятельности, т.е в фундаментальных структурах бытия, выявляемых деятельностью. Евклидианская математика – это формальная онтология мира, отражающая содержательную онтологию, выраженную в категориях и категориальных основоположениях. Евклидианская математика априорна и фундаментально реальна, как определенная в своих интуициях основными структурами реальности, выявляемыми деятельностью.

 Наша задача состояла в том, чтобы обосновать априорное знание как знание деятельностное, и следовательно, как фундаментально реальное. Мы должны, таким образом, от априоризма Канта возвратиться к априоризму Лейбница, для которого априорные истины были одновременно и универсальными сторонами реальности. Лейбниц хотел обосновать факт наличия таких истин в сознании человека через связь человека с богом как монадой всех монад. С праксеологической точки зрения эти истины порождаются деятельностью и отражают стороны реальности, обусловливающие возможность деятельности. Арифметика и евклидова геометрия – не абстракции опыта и не системы конвенций, а необходимые структуры сознания, обусловленные деятельностной ориентацией мышления.

 В конце XIX в. математики поняли свою науку как систему абстрактных структур, полезных для эмпирических теорий в качестве средства трансляции истинности. Все математические теории, с этой точки зрения, независимо от их содержания и степени интуитивности аксиом становятся совершенно равноправными, просто непротиворечивыми структурами, способными в процессе приложения обеспечивать переход от истинных суждений к истинным. Дискуссии относительно того, существуют ли неевклидовы и многомерные геометрии в реальности, которые долгое время занимали философов, отпали как не имеющие смысла. Вопрос о реальности в смысле Платона тоже как будто бы утратил значение. Но проблема обоснования математики, возникшая в начале ХХ в., заставила снова провести некоторое внутреннее деление между математическими теориями. Фреге, Рассел, Брауэр и Гильберт поняли, что для обоснования второй математики (математического анализа и теории множеств) нам придется опираться на первую математику как более надежную. Но что означает эта большая надежность? Мы снова пришли к проблеме выявления реальной математики как более фундаментальной и более надежной.

 Приведенные здесь соображения показывают возможность некоторого концептуального продвижения в понимании математического реализма. Мы приходим к осознанию того факта, что логика, арифметика и евклидова геометрия – не простые непротиворечивые математические структуры, а структуры, имеющие онтологический фундамент. Это структуры, необходимые для всякого мышления, структуры априорные и одновременно фундаментально реальные. Мы не решаем здесь вопроса о том, являются ли эти структуры непреходящими или вневременными. Но в любом случае ясно, что структуры евклидианской математики – это предельно надежные структуры математики, и если логическое обоснование математики в принципе возможно, то оно по необходимости должно опираться на эти структуры.

Литература

Аристотель 1976 – Аристотель. Сочинения. В четырех томах. Т. 1. М., 1976.

Беркли 1978 – Беркли Дж. Сочинения. М., 1978.

Боэций 1990 – Боэций. Утешение философией и другие трактаты. М., 1990.

Бурбаки 1963 – Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

Гедель 1964 – Godel K. What is Cantor’s continuum problem? / Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964.

Гуссерль 1970 – Husserl E. The Crisis of European sciences and Transcendental Philosophy. Evanston, 1970.

Динглер 1997 – Динглер Г. Эксперимент: его сущность и история // Вопросы философии. 1997. № 12.

Кант 1964 – Кант И. Сочинения в шести томах. Т. 3. М., 1964.

Кантор 1985 – Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.

Лобачевский 1951 – Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. Т. 1. М., 1951.

Лоренц 1997 – Лоренц К. Кантовская доктрина a priori в свете современной биологии // Человек. 1997. № 5.

Мах 2009 – Мах Э. Познание и заблуждение. М., 2009.

Медди 1990 – Maddy P. Realism in mathematics. Oxford, 1990.

Пенроуз 2003 – Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. М., 2003.

Поппер 2002 – Поппер К.Р. Объективное знание. Эволюционный подход. М., 2002. с.159 – 160.

Уайтхед 1990 – Уайтхед А.Н. Избранные работы по философии. М., 1990.

Штейнгауз 1974 – Штейнгауз Г. О математической строгости / Задачи и размышления. М., 1974.

Эйнштейн 1967 – Эйнштейн А.Собрание научных трудов. Т. 4. М., 1967.