О трактате, ошибочно приписываемом Николаю Орему

В большинстве перечней трудов, написанных Николаем Оремом, упоминается неизданный трактат «О мгновениях (De instantibus)», который можно найти в рукописи № 522 Библиотеки Арсенала в Париже (fol. 169 recto - 187 verso)[1]. Этот трактат до сих пор не был подвергнут более внимательному рассмотрению. Вместе с тем сопоставление этого текста с содержанием трактата Иоанна Голландского «De instanti» позволяет утверждать, что речь идет об одном и том же произведении [2]. Причиной, затруднившей признание тождественности этих двух работ, послужило различие их incipit. Трактат псевдо-Орема в рукописи Библиотеки Арсенала начинается с фразы: «Circa tractatum de instantibus intendo primo per ordinem ponere quasdam regulas», тогда как трактат Иоанна Голландского  начинается словами: «Philosophus in octavo Physicorum [или же: Aristoteles octavo Physicorum] ponit aliquas regulas de primo instanti et ultimo».

Рукопись № 522, целиком составленная одним переписчиком, написана разборчивым почерком и безупречна с палеографической точки зрения. Что касается самого текста, то во многих местах он некорректен: опущенные высказывания, непоследовательности, очевидные ошибки свидетельствуют о том, что текст переписывался механически. Оксфордская рукопись содержит намного более полный и точный вариант текста.

Рукопись Библиотеки Арсенала принадлежала Наваррскому коллегию, в котором преподавал Орем. Поэтому можно предположить, что приписывание этого трактата именно ему имело свои основания. Но не следует забывать, что рукопись датируется последними десятилетиями XIV-го или же первыми годами XV-го века [3], и что указание «Oresme de instantibus» было, очевидно, добавлено в explicit кем-то другим между строк «et sic est finis tractatus de instantibus» и «Explicit tractatus de instantibus». Следует также заметить, что в той же самой рукописи № 522, которая содержит множество подлинных произведений Орема, трактат «De reductione effectuum in virtutes communes et ad causas generales», написанный Генрихом Гессенским (или Генрихом из Лангенштейна), приписывается с некоторым сомнением и указанному автору, и Николаю Орему («editus a magistro Ni. Oresme vel de Hassia»). Все это, наряду с наличием других копий трактата Иоанна Голландского, дает нам основания верить explicit Оксфордской рукописи, в котором говорится: «Explicit tractatus de instanti magistri Johannis de Halandya in Universitate Pragii sub anno Domini millesimo CCCº 69 compilatum».

Нам остается лишь добавить несколько слов о главной теме данного трактата, проанализированной недавно Ч. Уилсоном [4]. Его предметом  является знаменитый вопрос «de incipit et desinit», обсуждавшийся в школах XIV-го века. Подход автора текста к рассмотрению данного вопроса наиболее близок к позиции Вальтера Бурлея.

Примечания В.П. Зубова

[1] Ср.: Borchert E. Die Lehre von der Bewegung bei Nicolaus Oresme. Münster-in-Westfalen, 1934. S. 14; Le Livre des Ethiques d'Aristote / Published... by A.D. Menut. New York, 1940. P. 30; Menut A.D., Denomy A.J. Introduction à l'édition du «Livre du ciel et du monde» // Mediaeval studies. Vol. V (1943). P. 246-247; Pedersen O. Nicole Oresme og hans naturfilosofiske system. Munksgaard - København, 1956. P. 60.

Описание рукописи см.: Martin H. Catalogue des manuscrits de la Bibliothèque de l'Arsenal. T. I. Paris, 1885. P. 371-372; Thorndike L. A History of Magic and Experimental Science. Vol. III. New York, 1934. P. 746-747.

[2] Я имел в своем распоряжении микрофильм рукописи Бодлеянской библиотеки в Оксфорде (Canon. misc. ms. 177, XIV^e siècle, fol. 61 verso - 74 verso или 48 verso - 61 verso, рукопись имеет двойную пагинацию). Другие копии см.: Thorndike L., Kibre P. A Catalogue of Incipits of Mediaeval Scientific Writings in Latin. Cambridge, 1938, где упоминаются две рукописи, одна из которых хранится в Венеции, а другая в Вене (не считая той, которую можно найти в Оксфорде).

[3] Датировка 1395 - 1398 гг. Была предложена А. Мартеном (ук. соч.), тогда как Г. Прукнер (Pruckner H. Studien zu den astrologischen Schriften des Heinrich von Langenstein. Leipzig - Berlin, 1933. S. 10-11) считает более вероятным временем появления рукописи начало XV века.

[4] Wilson C. William Heytesbury. Medieval Logic and the Rise of Mathematical Physics. Madison, 1956. P. 33-35.

Публикация М.В. Зубовой

Перевод с французского Т.А. Нестика

Несколько замечаний об авторе анонимного трактата под заглавием «Соизмерима ли диагональ квадрата с его стороной»

В 1887 г. Г. Зутер опубликовал по рукописи А.50, хранящейся в Бернской Городской библиотеке и относящейся к началу XV в., маленький трактат, который начинается с вопроса: «Соизмерима ли диагональ квадрата с его стороной (Utrum dyameter alicuius quadrati sit commensurabilis costae ejusdem)?» [1]. П. Дюэм доказал, что этот трактат не может быть приписан, как думал Зутер, Альберту Саксонскому по одной той причине, что Альберт «позаботился опровергнуть важную ошибку», содержащуюся в «Вопросе об отношении диагонали к стороне (Quaestio de proportione dyametri ad costam ejusdem)» [2].

Автор «Вопроса» хотел доказать, что бесконечное множество конечных тел могло бы образовать конечное тело. Для этого он воображал бесконечное множество сфер, или «яблок», которые он затем расплющивал и обертывал одну за другой вокруг исходной сферы в течение пропорциональных частей часа (1/2, 1/4, 1/8...). Толщина каждого последующего тела, очевидно, должна была быть меньше толщины предыдущего, поскольку такое тело должно было окружать все бóльшую и бóльшую сферу. Автор «Вопроса» полагал, что толщины должны были образовать непрерывную пропорцию наподобие пропорциональных частей часа. Следовательно, говорил он, тело, образованное в конце часа, имело бы конечную толщину, или диаметр. Именно этот вывод и критиковал Альберт Саксонский: первая толщина относится ко второй не так, как вторая к третьей, так что нет оснований сопоставлять эти толщины с пропорциональными частями часа.

Подобные операции со сферическими телами, преобразуемыми в плоские и оборачиваемыми затем вокруг сферы конечного объема, описаны не в одном произведении середины и второй половины XIV в., и в частности в сочинении Николая Орема «Книга о небе и мире (Le Livre du ciel et du monde)» [3]. Однако, в этом последнем нет случая, описываемого автором «Вопроса». Орем говорит о суммировании тел, объемы которых образуют непрерывную пропорцию 1/2, 1/4, 1/8... и толщина которых постоянна (в этом случае получается сфера с объемом = 1 и диаметром = ) [4]. Он анализирует также случай, когда конечная тяжесть (1/2 + 1/4 + 1/8... = 1) распределяется по бесконечному множеству разных тел постоянной толщины, облекающих одно другое (в результате, следовательно, получается тело бесконечного объема, имеющее конечную тяжесть) [5]. Наконец, речь идет о бесконечном суммировании разных объемов, облекающих один другой, которые «по прошествии часа» образуют тело, которое «не будет иметь ни сферическую, ни какую другую форму, а будет телом бесконечным по всем измерениям» [6].

Эти сходства и несходства между «Вопросом» и текстами Николая Орема сами по себе еще ничего не значат. Но они предстают в ином свете благодаря отрывку того же «Вопроса», трактующему проблему о несоизмеримости небесных движений [7]. Как известно, эта проблема весьма живо занимала французского ученого. Не говоря о трактате «О соизмеримости или несоизмеримости движений неба (De commensurabilitate vel incommensurabilitate motuum celi)»[8], Орем возвращался к ней несколько раз, а именно в своем трактате «Об отношениях отношений (De proportionibus proportionum)» [9], а также в «Книге о небе и мире», написанной позднее [10], и, следует полагать, - еще в другом месте, поскольку трактат «Об отношениях отношений» содержит следующее указание: «В шестой [главе] я скажу о несоизмеримости небесных движений, исправляя кое-что, чего кратко коснулся в другом месте, обратив внимание на немногое (In sexto [capitulo] dicam de incommensurabilitate motuum celestium corrigendo quedam que alias ad pauca respiciens breviter pertransivi)» [11]. Так как трактат «О соизмеримости...» содержит прямую ссылку на «Об отношениях отношений» [12], последнему трактату должна была предшествовать другая работа, в которой тот же вопрос был уже рассмотрен.

Автор «Вопроса» начинает со следующего положения. Если два движущихся тела находятся в конъюнкции в определенной точке d и их круговые орбиты стоят друг к другу в отношении, равном отношению диагонали квадрата к его стороне, то они больше никогда не окажутся в конъюнкции в той же точке. Автор доказывает это от противного, предполагая, что новая конъюнкция имеет место по прошествии 1000 лет, так что определенное число оборотов первого тела равняется определенному числу оборотов другого. Та же теорема формулирована в более общем виде в трактате «О соизмеримости...»: «Если два таких тела, движущихся в несоизмеримом соотношении, находятся теперь в конъюнкции, то они больше никогда не окажутся в конъюнкции в той же точке (Si duo talia mobilia incommensurabiliter mota nunc sunt coniuncta, nunquam alias in eodem puncto coniungentur)» [13]. Доказательство от противного исходит из предположений, что 3 оборота a соответствуют 5 оборотам b.

Вслед за тем автор «Вопроса» доказывает, что вторичная конъюнкция невозможна, если углы, описываемые в равные времена, несоизмеримы. Это есть 4-е заключение V главы «Об отношениях отношений» Николая Орема: «Если два тела движутся в несоизмеримом отношении к центру и оказываются в конъюнкции в определенной точке, то им невозможно впоследствии оказаться в конъюнкции в той же точке, ни раньше быть в конъюнкции в ней же, даже если бы их движение продолжалось вечно (Si duo mobilia moveantur incommensurabiliter respectu centri et quotiescumque coniungentur, coniungentur in puncto aliquo, impossibile est ea postea coniungi nec alias fuisse coniuncta et si moverentur in eternum)» [14].

Утверждение иллюстрируется в «Вопросе» на примере Солнца и Луны: «Я говорю, предполагая, что условие скорости Солнца и Луны несоизмеримы (что правдоподобно, или, по крайней мере, противоположное еще не доказано), - так что центр Солнца и центр Луны в равные времена описывают несоизмеримые углы, имеющие вершиной центр Земли, - я говорю, что если Солнце и Луна теперь находятся в совершеннейшей конъюнкции или в совершеннейшем противостоянии, что даже если бы мир существовал извечно, никогда они не были в точной конъюнкции, да и не будут в ней, даже если мир будет продолжать существовать вечно (Dico supposito quod motus solis respectu sui centri et motus lunae respectu sui sint incommensurabiles, sicut est verisimile, vel ad minus ejus oppositum nondum est demonstratum, sic quod centrum solis et centrum lunae cum eisdem temporibus describerent angulos incommensurabiles circa centrum terrae, dico, si sol et luna nunc sunt conjuncti conjunctione rectissima vel opposite oppositione rectissima, si mundus fuisset ab eterno, nunquam ita punctaliter fuerunt conjuncti vel oppositi, et si duraret in eternum, nunquam ita punctaliter conjungerentur vel opponerentur)». То же самое положение более подробно изложено в трактате «О соизмеримости...»: «Если теперь Луна находится в диаметрально противоположной точке с Солнцем и обретается в низшей части эпицикла и в ближайшей части эксцентрика, а Солнце - в ближней части своего эксцентрика, затмение Луны таково, что невозможно быть большему затмению в другой раз, раньше или позже, во веки веков. Стало быть, это затмение максимальное, какового не было и не будет. И соответственно ведется доказательство в отношении других аспектов Солнца и Луны (Si nunc luna sit opposite soli dyametraliter ipsa existente in inferiori [parte] epicicli et in propiori eccentrici, et sole existente in propiori eccentrici sui, eclipsis lune tanta est, quod impossibile est maiorem alias fuisse, aut alias futuram esse in perhenni seculorum tempore. Hec ergo eclipsis est maxima, que nec primam similem visa est habere nec sequentem. Et conformiter dicendum est de aliis aspectibus solis et lune)» [15].

Автор «Вопроса» равным образом заключает: «Отсюда следует также, что на протяжении всей вечности, если бы Солнце и Луна сегодня оказались в такой конъюнкции, не произойдет подобного же затмения, даже если бы мир продолжал существовать вечно (Ex quo etiam sequitur, quod per totum tempus eternum, si sol et luna sic hodie fuissent conjuncti conjunctione tali, consimilis eclipsis nunquam fiet, si etiam mundus duraret in eternum)».

Другой вывод, который он затем делает, формулируется так: «...возможно, что определенная часть небесного круга теперь затемнена так, как никогда не была и не будет затемнена, даже предполагая вечность мира (...possible est, aliquam partem orbis nunc esse obumbratam, quae nunquam alias fuit obumbrata, nec erit unquam, supposita etiam eternitate mundi)». Это почти дословно то же, что можно прочесть в трактате «О соизмеримости...»: «Следовательно, и конус земной тени проходит непрерывно новый путь, и оттого оказывается затемненной такая часть неба, которая никогда в другой раз не была совершенно лишена света Солнца (Ergo et conus umbre terre peragrat continue novam viam, et ex hoc fit aliqua pars celi tenebrosa, que nunquam alias secundum se totam fuit lumine solis privata)» [16]. Можно было бы привести также следующий текст «Книги о небе и мире»: «И так как Солнце перемещается тремя или более движениями - и притом возможно и вероятно, как сказано, ни одно из этих движений не соизмеримо с другими, - отсюда неизбежно следует, что при каждом движении центр солнечного тела оказывается в новой точке, в которой он раньше не был, и вершина земной тени непрерывно оказывается в таком месте, где она раньше никогда не была и никогда не будет (Et pour ce que le solleil est meü de .III. or de pluseurs mouvemens et est possible et vraysemblable, comme dit est, que aucun de ces mouvemens soit incommensurable as autres, il s'ensuit par necessité que en chascun movement le centre du corps du solleil est en nouveau point ou onques ne fu, et la pointe de l'ombre de la terre continuelment en aucun endroit ou point ou onques ne fu et jamais ne sera)» [17].

Оба - и автор «Вопроса», и Николай Орем - делают отсюда одинаковый вывод. Первый утверждает: «Отсюда далее следует, что может возникнуть некая вещь или некий источник света, который будет продолжать существовать вечно, а другой, существовавший от века, - уничтожится (Ex quo ulterius sequitur, quod aliqua res sive aliquod lumen potest generari, quod durabit in eternum, et aliquod corrumpi quod fuit ab eterno)». Зутер поставил в скобках вопросительный знак после слова «источник света (lumen)». Но вот что мы читаем в «Книге о небе и мире»: «И, следовательно, некий источник света, существовавший от века, перестает существовать, а другой начинает существовать и никогда не кончится (Et par consequant, aucune lumiere ou ciel cesse ester selonc soy toute ou cesse ester toute laquelle n'eüst oncques commencement, et aucune commence qui jamés ne cessera)» [18].

Равным образом к фразе, которая следует затем в «Вопросе», можно подыскать параллели в трактатах «О соизмеримости...» и «Об отношениях отношений».

«Вопрос»:

«Далее следует, - предполагая, что время годового оборота Солнца несоизмеримо с сутками (что правдоподобно и неизвестно еще в точности), - что невозможно будет составить истинный календарь (Ulterius sequitur, supposito quod tempus in quo sol facit unam revolutionem annalem sit incommensurabile diei, sicut est verisimile et etiam ignotum est an ita sit, tunc impossibile est, verum kalendarium invenire)» (Quaestio, Suter, p. 50).

«О соизмеримости...»:

«Из вышеуказанной несоизмеримости проистекало бы, что средний солнечный год содержал бы определенное число дней плюс часть суток, несоизмеримую с целым. При таком предположении невозможно в точности определить численную величину года, иначе говоря, сочинить вечный альманах или составить истинный календарь (Adhuc autem ex predicta incommensurabilitate contingeret, quod annus solis medius contineret aliquot dies et partitionem diei incommensurabilem suo toti. Quo posito impossibile est precise anni quantitatem numeris deprehendere, aut almanac perpetuum condere, seu verum kalendarium invenire)» (De commensurabilitate..., pars II, concl. 12^a, fol. 268v).

«Об отношениях отношений»:

«На том же основании я говорю, что если время, на протяжении которого Солнце совершает свой оборот, несоизмеримо с сутками - так, что солнечный год продолжается определенное число суток плюс часть суток, несоизмеримую со своим целым, - величина года была, есть и будет вовеки неизвестна и узнать ее вообще невозможно, как невозможно и составить истинный календарь (Per idem dico si tempus quo sol peragrat suum circulum sit [in]commensurabile dieri, ita quod annus solaris duret per aliquot dies et per partem diei incommensurabilem suo toti, quantitas anni fuit, est et erit in perpetuum ignota et eam scire est omnino impossible: atque unum [verum][19] kalendarium invenire)» (De proportione proportionum, cap. 6, concl. 15^a, fol. 26v).

Один из выводов, делаемых из несоизмеримости движений, так формулирован в «Вопросе»: «Если Луна восходит в некий точный момент какого-нибудь часа (например, в средний момент третьего часа какого-нибудь дня), то если мир будет существовать вечно, она никогда не взойдет в тот же момент того же часа (Si luna oriatur punctaliter in aliquot instanti alicujus horae, ut forte in instanti medio horae tertiae alicujus diei, si mundus duraret in eternum, nunquam in instanti consimilis horae orietur)».

Автор «Вопроса» заключает: «Отсюда следует, что суждения астрономов бывают иногда весьма недостоверны (Ex quibus sequitur quod judicia astrologorum sunt aliquando valde incerta)». Это утверждение, как известно, было лейтмотивом нескольких трактатов Орема и оказывается совершенно естественным выводом из рассмотренных выше теорем.

Родство идей, изложенных в «Вопросе», с идеями Орема, следовательно, неоспоримо. «Вопрос» вышел из кругов, весьма близких к Орему. Можно ли было бы утверждать, что он принадлежит самому Орему? Это имеет долю вероятия, если, в особенности, вспомнить, что Орем любил варьировать изложение собственных идей, возвращаясь по нескольку раз к тем же темам. Мы могли в этом убедиться, читая сходные отрывки из трактатов «О соизмеримости...» и «Об отношениях отношений», не говоря о французской редакции «Книги о небе и мире». Не является ли тогда «Вопрос» тем сочинением Орема, о котором он говорит в своем трактате «Об отношениях отношений»: «исправляя кое-что, чего кратко коснулся в другом месте, обратив внимание на немногое (corrigendo quedam que alias ad pauca respiciens breviter pertransivi)»? И не относились ли подобные исправления, сделанные позднее, не только к теоремам, касающимся несоизмеримости движений, но также к анализу бесконечного множества «яблок», содержащегося в «Вопросе» и подвергнутого критике Альбертом Саксонским, - анализу, с которым мы не встречаемся в зрелом произведении Орема «Книга о небе и мире», относящемся ко времени 1370-1377 гг.?

Чтобы уточнить ответ на этот вопрос, следовало бы, прежде всего располагать более точными данными, касающимися происхождения Бернской рукописи. Отметим в заключение, что рукопись содержит также «Алгоритм отношений (Algorismus proportionum)» [20] того же Орема.

Примечания В.П. Зубова и А.М. Шишкова

[1] Suter H. Die Quaestio De proportione dyametri quadrati ad costam ejusdem des Albertus de Saxonia // Zeitschrift für Mathematik und Physik. Hist.-literar. Abteilung 32 (Leipzig, 1887). S. 43-54. Описание манускрипта в целом см.: Suter H. Der Tractatus De quadratura circuli des Albertus de Saxonia // Zeitschrift für Mathematik und Physik 29 (1884). S. 84-85.

[2] Duhem P. Etudes sur Léonard de Vinci. 1^re série. Paris, 1906. Pp. 341-344 (réimprimé Paris, 1955).

[3] Maistre Nicole Oresme. Le Livre du ciel et du monde / Eds. A.D. Menut, A.J. Denomy // Mediaeval Studies 3 (Toronto, 1941), p. 185-280; 4 (1942), p. 159-297; 5 (1943), p. 167-333 [Madison (Wisc.), 1968].

[4] Oresme. Op. cit., fol. 23b-23c // Mediaeval Studies 3 (1941), p. 219, 221.

[5] Ibid., fol. 20c-20d (p. 215).

[6] Ibid., fol. 55b-55c (p. 269).

[7] Suter H. Die Quaestio De proportione dyametri... SS. 49-50.

[8] Анализ трактата см.: Thorndike L. A History of Magic and Experimental Science. New York, 1934 (III, p. 404-406). О манускриптах см.: Mediaeval Studies 5 (1943), p. 246; Maier A. Metaphysische Hintergründe der spätscholastischen Philosophie. Rome, 1955. SS. 28-30; Pedersen O. Nicole Oresme og hans naturfilosofiske system. København, 1956, pp. 59-60. (См.: Nicolaus Oresme. De commensurabilitate sive incommensurabilitate motuum celi. Ed. E. Grant. Madison (Wisc.), 1971. - А.Ш).

[9] См.: Nicolaus Oresme. De proportionibus proportionum, Ad pauca respicientes. Ed. E. Grant. Madison (Wisc.), 1966. - А.Ш.

[10] В «О соизмеримости...» есть две отсылки к «Книге о небе и мире»: fol. 44d-45b // Mediaeval Studies 3 (1941), p. 252-253; fol. 126a // Mediaeval Studies 4 (1942), p. 254.

[11] De proportionibus proportionum. Prohemium, fol. 17r.

[12] De commensurabilitate..., pars II, concl. 7^a, fol. 267r: «...ut patet ex libro de proportionibus proportionum».

[13]  De commensurabilitate..., pars II, concl. 1^a, fol. 266r.

[14] De proportionibus proportionum, fol. 25v.

[15] De commensurabilitate..., pars II, concl. 12^a, fol. 269r.

[16] De commensurabilitate..., pars II, concl. 12^a, fol. 268v.

[17] Le Livre du ciel et du monde, fol. 45a // Mediaeval Studies 3 (1941), p. 253.

[18] Le Livre du ciel et du monde, loc. cit.

[19] Исправлено по MS. lat. 7378A из Национальной библиотеки.

[20] См.: Nicolaus Oresme. Algorismus proportionum. Ed. M. Curtze. Berolini, 1868; Ed. E. Grant. Madison (Wisc.), 1957 (extr.). - А.Ш.

Вокруг «Вопросов о "Геометрии" Евклида» Николая Орема

Не так давно д-р Бузард опубликовал впервые «Вопросы о "Геометрии" Евклида (Quaestiones super Geometriam Euclidis)» Николая Орема [1]. Французский ученый применил здесь к анализу математических проблем форму «вопросов», которая стала господствующей в его эпоху. Вместо доказательств по образцу евклидовых «Начал» он трактует свой предмет disputative, исследуя все за и против (pro et contra), с тем чтобы прийти к решению лишь в конце каждого «вопроса» (quaestio).

Вообще говоря, XIV век был временем, когда сближаются два главных методологических приема средневековой науки - доказательство «на геометрический лад» (more geometrico) и доказательство строго школьное, посредством «вопросов» (per modum quaestionis). Применение геометрии и теории пропорций Евклида к идеям физики Аристотеля отличает «калькуляции» оксфордских ученых, начиная с Фомы Брадвардина, и еще в большей мере оремовское учение о «широте форм». Использование евклидовского метода, основанного на определениях, аксиомах, постулатах и теоремах, в сочинениях философских было лишь спорадическим в предшествующие столетия. Можно было бы привести в качестве примера «Книгу о гебдомадах (Liber de hebdomadibus)» Боэция, а позднее, в XII веке, сочинения Алана Лилльского [2]. Фома Брадвардин применил этот метод не только в своем философско-математическом трактате «О континууме (De continuo)», но и в большом своем теологическом трактате «Защита Бога, против пелагиан (De causa Dei contra pelagianos)». Тем более интересно, что подобное проникновение геометрических приемов в философские произведения сопровождалось обратной тенденцией: анализировать математические понятия по схеме «вопроса».

Несомненно, такого рода анализ имел преимущества педагогические. «Вопросы» Орема - хороший тому пример. Посвящая несколько «вопросов» одной и той же теме, автор, очевидно, имел целью лучше запечатлеть в памяти своих слушателей преподаваемые принципы. Его «вопросы» имеют подчас вид импровизаций, устно излагаемых перед аудиторией студентов «для упражнения» (exercitii causa), для того чтобы лучше различить разные случаи, уточнить терминологию и т.д.

Нет сомнения, что такое изложение, вместе с тем, помогало углубить проблемы, оценить различные логические возможности лучше, чем то мог бы сделать простой парафраз предложений Евклида. Вот почему много проблем, затронутых в «Вопросах» Орема, представляют общефилософский интерес, и их трактовка может быть рассматриваема как введение в критический анализ некоторых фундаментальных математических положений, таких, как понятия угла, равенства и неравенства, континуума, бесконечности и т.д. [3].

Среди проблем, к которым Орем возвращается несколько раз в своем произведении, мы находим вопрос о соизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Вопросы 6 - 9 принадлежат как раз к числу тех, о которых мы только что говорили: они - своего рода вариации на одну и ту же тему; Орем модифицирует их всякий раз, вводя новые аргументы за и против. Эти вариации не производят впечатления различных записей слушателей (reportata). Скорее они похожи на лекции, которые сам автор всегда излагает по-новому, что не должно нас удивлять, так как вообще Орем любил возвращаться к тем же вопросам, всякий раз придавая им новую форму.

Д-р Бузард обратил внимание, что эти вопросы 6 - 9 могут быть сближены с анонимным «Вопросом», изданным Зутером [4]. Как мы уже имели возможность констатировать, этот «Вопрос» носит, несомненно, оремовские черты [5]. Здесь нам хотелось бы сопоставить те же вопросы 6 - 9 с двумя другими произведениями, оставшимися неизданными: во-первых, с текстом в сборнике конца XIV в. в Бодлеянской библиотеке в Оксфорде, и, во-вторых, с трактатом, ошибочно приписываемым Орему, под заглавием «О пропорциях скоростей в движениях (De proportionibus velocitatum in motibus)» (хранящимся в Библиотеке Арсенала в Париже).

С точки зрения чисто-математической дискуссия о соизмеримости диагонали и стороны квадрата (utrum dyameter quadrati sit commensurabilis costae eiusdem), быть может, наименее интересная из тех, которые содержатся в «Вопросах» Орема. Но, пожалуй, лучше, чем какая-либо иная, она позволяет пролить свет на тот склад мысли, который мы только что охарактеризовали, - тенденцию заменить «геометрический порядок» предложений «столкновением» противоположных мнений. Нельзя притом забывать, что вопрос о соизмеримости и иррациональности играл важную роль в спорах о «строении континуума» (de compositione continui), столь оживленных в первой половине XIV в. [6].

I

Текст Бодлеянской библиотеки входит в состав сборника конца XIV в. [7], принадлежавшего «доктору искусств» Николаю Театинскому, который завещал его монастырю Св. Варфоломея в Виченце. Он содержит различные философско-математические трактаты. Наряду с трактатами английских авторов (Вальтера Бурлея, Фомы Брадвардина) в нем имеются трактаты итальянских ученых: Джованни де Казали, Власия Пармского (Бьяджо Пелакани) и др.

Интересующий нас фрагмент не имеет ни обозначения автора, ни даты, но почерк указывает, что он был переписан Донатом де Клугис, который переписал также некоторые другие трактаты в том же сборнике на протяжении 1391 - 1400 гг. [8]

Речь в сущности идет о двух различных редакциях или версиях, в дальнейшем обозначаемых как «текст А» и «текст В».

Структура и форма изложения текста А значительно отличается от «Вопросов» Орема и анонимного «Вопроса», опубликованного Зутером. Наоборот, текст В обнаруживает совпадения с ними, подчас позволяющие разъяснить отдельные места в двух указанных произведениях.

Представляется поэтому целесообразным начать наш разбор с текста В. Его можно разделить на три части. Первая, очень сжатая, содержит лишь два «доказательства» в пользу ошибочного мнения (диагональ соизмерима со стороной) и сводится к двум плохо истолкованным цитатам из Аристотеля [9]. Вторая содержит доказательства в пользу противоположного мнения, аналогичные тем, которые имеются в «Вопросах» Орема. Наконец, третья часть содержит разбор аргумента, развиваемого подробно в анонимном «Вопросе», опубликованном Зутером.

Во второй (главной) части, после определений - квадрата (quadratum), диагонали (dyameter) и стороны (costa), автор формулирует 4 предположения, почти тождественные тем, которые имеются в 7-м «Вопросе» Орема. Первое доказательство соответствует тому, которое мы находим в том же 7-м «Вопросе». Что же касается второго доказательства, аналогичное можно найти в 8-м «Вопросе» (с единственной разницей, что в нем 5 предложений, а не 4). Далее в тексте Орема идет разъяснение, отсутствующее в рукописи Бодлеянской библиотеки [10]. Однако самые доказательства те же самые, если не считаться с указанной разницей в числе предложений. Наконец, третье (и последнее) доказательство соответствует тому, которое подробно приведено в 9-м «Вопросе» Орема [11]. В сущности, самое доказательство в тексте отсутствует и сводится к одной фразе («Ultima demonstration est: proportio dyametri ad costam est medietas proportionis duple et talis medietas non reperitur in numeris»).

Далее - явный пропуск и сжатое изложение уясняется лишь из сопоставления с 6-м «Вопросом» Орема [12], кое в чем позволяя и наоборот, уточнить отдельные места этого последнего «Вопроса».

В итоге текст В оказывается в связи с различными «Вопросами» Орема. Подобно тому, как эти последние восполняют друг друга, так текст В в свою очередь восполняет их, - это еще один вариант наряду с вопросами 6 - 9. Текст возвращается к темам Орема, видоизменяя их, комбинируя рассуждения всех этих «вопросов», вместе взятых.

Рассмотрим теперь третью (и последнюю) часть текста В. Если вторая часть обнаруживала явные черты сходства с «Вопросами» Орема, третью можно сопоставить с «Вопросом», опубликованным Зутером.

Оба текста исходят из одного примера: сложения двух движений, вертикального и горизонтального. Все предложения и возражения основаны на различении скорости опускания (velocitas descensus) и скорости движения (velocitas motus): два тела могут приближаться к какой-либо точке (например, к «центру мира») с одинаковой скоростью, измеряемой расстоянием между исходной и конечной точкой, проходя, вместе с тем различные пути [13].

На основе этого различения дается решение «Вопроса». Оно отсутствует в тексте В, но имеется в «Вопросе», опубликованном Зутером.

Мы видим, что и в третьей части текста В нет простого совпадения. Здесь также - свободная вариация на ту же тему.

II

Текст А имеет меньше точек соприкосновения с «Вопросами» Орема и «Вопросом», опубликованным Зутером. Его структура - типичная: он начинается с аргументов, противоречащих мнению автора, затем идут аргументы этого последнего, доказываемые ссылками на авторитеты и рациональными доводами. Аргументация повторяется во втором варианте, начинаясь с замечаний и продолжаясь в 5-ти заключениях с короллариями. После этой позитивной части автор возвращается к разрешению, или вернее к опровержению аргументов, формулированных вначале.

Мы не будем разделять в нашем изложении аргументы противника, поставленные в начале «Вопроса», и ответы на них. Лишь вслед за тем мы рассмотрим позитивную часть, освещая лишь суммарно отрывки, не находящие параллелей ни в «Вопросах» Орема, ни в «Вопросе», опубликованном Зутером.

Текст начинается шестью аргументами в пользу ошибочного утверждения, что диагональ соизмерима стороне квадрата. Третий из них находит свою аналогию в трактате «О пропорциях скоростей в движениях» (см. ниже) и в «Вопросе» 8-м Орема. Ответ на этот аргумент дается в обоих случаях в разной форме, но суть остается та же.

Доказательство противоположного тезиса, разделяемого автором (диагональ несоизмерима), дается два раза по-разному. В первый раз (А¹) оно основывается на авторитетах и (кратко) на рациональных доводах (ex auctoritate et ratione). Во второй раз (А²) оно строится на замечаниях (notae, или notanda) и на заключениях с короллариями.

В качестве свидетельства в пользу своего мнения автор цитирует Аристотеля [14], Евклида [15], его комментатора Кампана [16] и «Книгу Иудея о десятой книге Евклида (Liber Iudaei super decimum Euclidis)» [17]. Рациональный довод основан на положении, что квадратный корень из «глухого» квадрата есть величина иррациональная и несоизмерима с рациональным корнем. В процессе доказательства автор отсылает к «маленькому трактату об арифметике» [18] и к трактату Ахмад Ибн Юсуфа (IX в.) [19].

Второй вариант доказательства (А²), более пространный, начинается, как мы сказали, с замечаний (notanda). Автор определяет соизмеримые и несоизмеримые величины, отдельно говоря о числах и непрерывных величинах. В первом случае он различает числа, соизмеримые в собственном смысле (proprie loquendo: имеющие общую меру, отличную от 1), и имеющие любую общую меру, включая 1 (quecumque sit illa). В последнем случае любое число будет соизмеримо другому («concedendum est de virtute sermonis quod quilibet numerus alteri commensurabilis est»). Подобных подразделений нет в других трактатах [20], и они очень характерны для внимания, которое автор уделяет различным значениям терминов.

Ту же озабоченность всем, что имеет отношение к вопросу о «значении слов (de significatione verborum)», автор проявляет дальше, когда различает четыре вида четырехугольников: квадрат (quadrangulus rectangulus per totum) и ромб (iste quadrangulus proprie vocatur) [21], прямоугольник (rectangulus non quadratus, cuius latera opposita adequantur), четырехугольник с двумя равными противоположными сторонами (quadrangulus expansus, cuius solum sunt duo latera opposita adequata) и четырехугольник, все стороны которого неравны (quadrangulus expansus inequalium laterum).

Все последующие заключения имеют целью дать разъяснения, касающиеся приложимости общего положения (диагональ несоизмерима со стороной: diameter est incommensurabilis coste) к различным видам четырехугольных фигур (за исключением последнего случая, то есть четырехугольника с неравными сторонами).

В итоге: текст А уделяет большое внимание разнообразному значению терминов, и в этом логическом и терминологическом аспекте он ставит своей задачей решить вопрос о соизмеримости диагонали и стороны (utrum dyameter sit commensurabilis costae). Он написан, нельзя в том сомневаться, «ради упражнения (exercitii causa)».

III

Переходим к «Трактату о пропорциях скоростей в движениях», единственный известный список которого хранится в Библиотеке Арсенала в Париже (MS. 522, fol. 126r - 168v). Все новейшие исследователи [22] приписывают его Николаю Орему, основываясь на «Каталоге» Мартена [23]. Этот последний привел лишь заключительные строки (explicit), в которых трактат действительно приписывается Орему («Explicit tractatus de proporcionibus velocitatum in motibus, compilatus per magistrum egregium Nicolaum Oresme, scriptus Parisius per manum Johannis Monachi, Suessionensis dioceses, scriptus in vigilia sancti Pauli»). Зато он привел лишь часть предшествующей фразы («...Symone de Castello efficaciter excusando concorditer perhibeant testimonium veritatis»). Между тем из этой фразы явствует, что настоящим автором трактата следует признать некоего Симона де Кастелло: «Hiis ergo taliter qualiter dictis mei operas prescripti hic tantum firmabo, quod si non plenarie a principio promissa servavi, tunc tam mei intellectus ac fantasie debilitas quam scabrositas operas et sex mensium interpalatorum brevitas me, puta Symonem de Castello, efficaciter excusando concorditer perhibeant testimonium veritatis».

Мы будем меньше удивляться этой ошибочной атрибуции, если вспомним, что некоторые другие атрибуции в той же рукописи также ошибочны или сомнительны. Например, трактат «О мгновениях (De instantibus)», непосредственно следующий за «Трактатом о пропорциях скоростей в движениях», равным образом приписан Орему, тогда как на самом деле он принадлежит Иоанну Голландскому [24].

Сравнивая текст трактата «О мгновениях» с другими более исправными списками (он писан рукою того же Иоанна Монаха, как и другие трактаты рукописи 522), можно видеть, что переписан он чисто механически. Правда, почерк весьма четкий, можно сказать каллиграфический, но смысл в большинстве случаев искажен: пропущены слова, есть пропуски целых фраз и явные описки. То же самое можно сказать о начале «Трактата о пропорциях скоростей в движениях»: «Ut circa ardua asperaque fantasmata ex difformibus ac multifariam descisa concectibus [conceptibus?] de proportionibus velocitatum in motibus ad conatum inexpertus intellectus clarius et uniformius sic reflectat, idcirco et propter maiorem ipsius specierum fixionem, ex pluribus diffusisque libellis reverendorum magistrorum meorum dudum Parisius in vico straminum actu regencium ac aliorum valencium virorum aliqua introductoria modo quo potui facilliori collegi, ex quibus, una cum quibusdam aliis propositionibus, obiectionibus et ipsarum solutionibus per me iuxta posse [su]perad[d]it is, Deo favente brevem tractatum compilavi...».

Эти начальные строки все же подтверждают, без всякого сомнения, что перед нами не произведение Орема, но скорее труд, принадлежащий перу компилятора, пересказывавшего все, что уже было принято в преподавании как ходячая или традиционная истина. Его автор, Симон де Кастелло, не одно ли лицо с Симоном Фрероном, упоминаемым в одном документе 1369 г. [25] в качестве ректора (actu regens) Наваррского коллегия, где, как известно, Николай Орем был «великим магистром» в 1356 г., продолжая сохранять связи с коллегием до 1361 года? Не будем забывать, что рукопись 522 принадлежала тому же коллегию.

Прукнер [26] считает вероятным, что рукопись была написана скорее после 1400 г., а не в 1395 - 1398 гг., как думал Мартен.

Мы не ставим своей задачей детально анализировать здесь этот трактат. Но, считаясь с тем, что он является отражением преподавания в Париже (а может быть, даже преподавания в Наваррском коллегии) в середине XIV в., немаловажно будет сопоставить некоторые отрывки с текстами, разобранными в первых двух частях нашей статьи. Ведь в самом деле: в этом трактате можно найти разбор той же проблемы о соизмеримости диагонали и стороны (utrum dyameter sit commensurabilis costae). Говоря о величинах соизмеримых и несоизмеримых во введении к своему трактату, автор включает в него отступление, посвященное этой проблеме.

Аргументы в пользу ошибочного утверждения (диагональ вдвое больше стороны: dyameter est dupla ad costam) сводятся к трем. Первый основан на предложении 18-м I-й книги «Начал» Евклида («in omni triangulo maiori angulo maius latus est oppositum») и его неправильном понимании. Второй исходит из 46-го предложения той же книги («In omni triangulo rectangulo quadratum, quod a latere recto angulo opposito in semetipso ducto describitur, equum est duobus quadratis, que ex duobus reliquis lateribus conscribuntur»). Существо этой софистической аргументации и ее опровержение можно найти в тексте А¹ и в «Вопросах» Орема, упоминавшихся выше. Что же касается третьего аргумента, он нам уже известен по изложению в тексте В и в «Вопросе», опубликованном Зутером: речь идет о сложении двух движений и т.д.

Кроме того, текст содержит подробное доказательство, что отношение диагонали квадрата к стороне равно отношению корня квадратного из двух к единице (medietas proportionis duple:  : 1). Основой является 16-е предложение VI-й книги Евклида («qualis est proportio laterum, talis est proportio quadratorum duplicata»).

Мы видим: здесь точно так же дело не в текстуальных совпадениях или в прямых заимствованиях. Все рассмотренные произведения носят один отпечаток, обнаруживают явное родство: они родились в одной атмосфере, в атмосфере школы или класса.

Их авторы, как и сам Орем в «Вопросах к Евклиду», не хотели попросту преподавать «Начала» великого греческого математика, а хотели заставить размышлять об этих предметах. Вместо изложения, так сказать, линейного, они хотели дать подход «стереометрический», выделяя в разных аспектах противоречивость ошибочных мнений и упрочивая верное мнение посредством доказательств «от невозможного» (per impossibile).

Примечания В.П. Зубова и А.М. Шишкова

[1] Nicolaus Oresme. Questiones super Geometriam Euclidis. 2 fasc. / Ed. H.L.L. Busard. Lugduni Batavorum [Leiden], 1961 (Janus, supplement III). См. также: Maier A. Zwei Grundprobleme der scholastischen Naturphilosophie. 2. Auflage. Rom, 1951. SS. 89-93, 99-102; Maier A. An der Grenze von Scholastik und Naturwissenschaft. Rom, 1952. SS. 343-353; Clagett M. The Science of Mechanics in the Middle Ages. Madison (Wisc.), 1959. P. 344.

[2] Grabmann M. Die geschichte der scholastischen methode. Freiburg i. Br., 1909. Bd. I. S. 173 (repr. Berlin, 1957).

[3] Тот же характер - и, может быть, еще более выраженный - носят анонимные «Вопросы о первой книге Евклида (Questiones super primum librum Euclidis)», хранящиеся в Научной библиотеке города Эрфурта (Amplon. Q.344). Они посвящены логическому анализу определений, аксиом и постулатов (включая постулат о параллельных), со ссылками на еврейских комментаторов (commentatores ebrei: Леви бен Герсон?), Витело, Анариция и др. В настоящее время мы заняты подготовкой к изданию этих интересных «Вопросов».

[4] Suter H. Die Quaestio De proportione dyametri quadrati ad costam ejusdem des Albertus de Saxonia // Zeitschrift für Mathematik und Physik. Hist.-literar. Abteilung 32 (Leipzig, 1887). SS. 43-54.

[5] Zoubov V.P. Quelques observations sur l'auteur du traité anonyme «Utrum dyameter alicuius quadrati sit commensurabilis costae ejusdem» // Isis 50 (1959), pt. 2. № 160. P. 130-134. См. также: Durand Dana B. Nicole Oresme and the Medieval Origins of Modern Science // Speculum 16 (1941), n. 2. P. 173.

[6] См. гл. «Kontinuum, Minima und aktuell Unendliches» в книге: Maier A. Die Vorläufer galileis im 14. Jahrhundert. Rom, 1949. S. 155-215. Ср.: Zoubov V.P. Walter Catton, Gérard d'Odon et Nicolas Bonet // Physis (1959), fasc. 4. P. 261-278 [Зубов В.П. Вальтер Кэттон, Герард Одонис и Николай Бонет // Точки - Puncta 3-4 (4) (2004). С. 110-153. - А.Ш.].

[7] MS. Canon. Misc. 177, fol. 213r - 214r (старая нумерация 228r - 229r). См.: Coxe H.O. Catalogus codicum manuscriptorum Bibliothecae Bodleianae. Pars tertia, codices graecos et latinos Canonicianos complectens. Oxonii, 1854. Col. 556-560.

[8] Я располагал микрофильмом соответствующих страниц. За дополнительные сведения о сборнике в целом я благодарен г-ну Хенту (Dr. R.W. Hunt), хранителю рукописей в Бодлеянской библиотеке.

[9] Aristoteles. Metaphysica, X, 1, 1053a; VII, 13, 1039a.

[10] «...quod patet aliter, quia si proportio aliquorum est sicut duorum numerorum parium et omnes tales numeri habent medietatem, sequitur quod proportio illorum est sicut suarum medietatum et ita de eius medietatibus, si sunt partes, sicut potest de numero declarari, ponendo quod aliqua se habent in proportione dupla etc.» Quaestiones, 8, p. 20 Busard.

[11] Quaestiones, 9, p. 23 Busard.

[12] Quaestiones, 6, p. 14 Busard.

[13] См. также: Albertus de Saxonia. Tractatus proportionum // Burleus de intensione et remissione formarum. Jacobus de Forlivio de intensione et remissione formarum. Tractatus proportionum Alberti de Saxonia. Venetiis, 1496, fol. 45r.

[14] Aristoteles. Analytica Posteriora, I, 2, 71b; I, 33, 89a. Ср.: Analytica Priora, I, 23, 41a; I, 44, 50a.

[15] Euclides. Elementae, X, def. 3.

[16] Johannes Campanus de Novaria (ок. 1205 - 1296).

[17] «Et idem patet per Iudeum super eodem 10⁰». Работа Абу-Усмана (X в.) или Мухаммада Ибн Абд аль-Баки (XI в.) была переведена на латынь Герардом Кремонским (ок. 1114 - 1187) и известна под названиями «Книга Иудея о десятой книге Евклида (Liber Iudaei super decimum Euclidis)» и «О числах и линиях (De numeris et lineis)». Издания: B. Buoncompagni, 1863 (?) и M. Curtze, 1899.

[18] Этот трактат следует отличать от работы «Наставления в арифметике (De institutione arithmetica)» Боэция, на которую имеются специальные ссылки, например: «sicut patet ex primo Arismetrice Boetii» (fol. 213v, col. I, 1. 6-7).

[19] Например: «ex libro magneti de proportionibus» (очевидно, более правильно Hameti). Трактат Ахмада был переведен на латынь в XII в. Герардом Кремонским: «Liber Hameti de proportione et proportionalitate». Ср.: Bjørnbo. Bibliotheca mathematica XII (1912), 221-232.

[20] Ср., например: Suter, p. 44 (4^a et 5^a descriptio).

[21] Иногда используется также слово «rumbus».

[22] Thorndike L. A History of Magic and Experimental Science. Vol. III. New York, 1934. P. 747; Thorndike L., Kibre P. Catalogue of Incipits of Mediaeval Scientific Writings in Latin. Cambridge, 1938; Menut A.D., Denomy A.J. Introduction à l'édition du "Livre du ciel et du monde" d'Oresme // Mediaeval Studies V (1943). P. 246; Pedersen O. Nicole Oresme og hans naturfilosofiske system. København, 1956. P. 57.

[23] Martin H. Catalogue des manuscripts de la Bibliothèque de l'Arsenal. T. I. Paris, 1885. P. 372.

[24] Zoubov V. Sur un écrit faussement attribué à Nicolas Oresme // Archives internationales d'histoire des sciences, n. 45, octobre - décembre (1958). Pp. 377-378.

[25] Denifle H., Chatelain E. Chartularium Universitatis Parisiensis. T. III, Paris, 1894, n. 1358.

[26] Pruckner H. Studien zu den astrologischen Schriften des Heinrich von Langenstein. Leipzig - Berlin, 1933. S. 10-11.

Публикация М.В. Зубовой