Актуальная бесконечность в математике как «лабиринт мышления»
Автор Султанова Л.Б.   
05.04.2017 г.

Объектом исследования в статье является математическое представление об актуальной бесконечности. Этот вопрос активно обсуждается в научном сообществе со времени создания программ обоснования математики в первой половине двадцатого века, но уже Лейбниц характеризовал бесконечность как «лабиринт мышления». В двадцатом веке немецкий математик Г. Вейль высказал мысль о том, что крушение программ обоснования математики вызвано в основном «смешением» представлений об актуальной и потенциальной бесконечности в мышлении математиков. Автор разъясняет и обосновывает эту точку зрения, связывая её, прежде всего, с феноменом неявного знания. Применяя в качестве методологического инструмента понятие неявного знания, автор уточняет и обосновывает понимание актуальной бесконечности как «лабиринта мышления» в рамках современной философии науки. Для разъяснения своих выводов автор обращается к работам таких математиков, как Д. Гильберт, Г. Вейль, Г. Кантор, а также к исследованиям таких отечественных специалистов по философии математики, как В.Н. Катасонов, В.Я. Перминов и др.

 

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: актуальная бесконечность, математическое познание, непреодолимое противоречие, программы обоснования математики, Лейбниц, потенциальная бесконечность, парадоксы канторовской теории множеств, неявное знание, формализация представлений математики, двойственность метафизических предпосылок математики, теорема К. Гёделя, современная философия науки.

 

СУЛТАНОВА Линера Байраковна – доктор философских наук, профессор Башкирского государственного университета.

Этот e-mail защищен от спам-ботов. Для его просмотра в вашем браузере должна быть включена поддержка Java-script

 

Цитирование: Султанова Л.Б. Актуальная бесконечность в математике как «лабиринт мышления»// Вопросы философии. 2017. № 3.

 

VoprosyFilosofii. 2017. Vol. 3.

 

Actual Infinity in Mathematics as Labyrinth of Thinking

 

Linera B. Sultanova

 

The object of research in the article is a mathematical representation of actual infinity. Scientists are interested in this issue since the creation of programs of the justification of mathematics in the first half of the 20th century. Leibniz already described as infinity «Labyrinth of thought». In the 20th century German mathematician Weyl expressed the opinion that, the collapse of the foundations of mathematics programs, primarily due to a «mixing» of the representations of the actual and potential infinity in the thinking of mathematicians. The author explains and justifies this point of view, linking it primarily with the phenomenon of tacit knowledge. Applying as a methodological tool the concept of tacit knowledge, the author clarifies and substantiates understanding actual infinity as a «labyrinth of thought» in the modern philosophy of science. For an explanation of its conclusions the author turns to the work of mathematicians such as D. Hilbert, G. Weyl, G. Cantor, A.N. Kolmogorov, as well as to studies of national experts on the philosophy of mathematics, as V.N. Katasonov, V.Ya. Perminov and other.

 

KEY WORDS: actual infinity, mathematical cognition, fatal contradiction, the programs foundations of mathematics, metaphysics of Leibniz, potential infinity, paradoxes of Cantor's set theory, tacit knowledge, a priori prerequisites of mathematics, duality of metaphysical prerequisites of mathematics, Godel's theorem, modern philosophy of science.

SULTANOVA Linera B. DSc in Philosophy, Professor at Bashkir State University.

Этот e-mail защищен от спам-ботов. Для его просмотра в вашем браузере должна быть включена поддержка Java-script

Citation: Sultanova, Linera B. (2017) Actual Infinity in Mathematics as Labyrinth of Thinking, Voprosy Filosofii, Vol. 3 (2017).



Тема лабиринта восходит к древнегреческой мифологии: всем известен лабиринт Минотавра, который, как известно, смог преодолеть только древнегреческий герой Тезей. Согласно мифу, Минотавр – это человек с головой быка, обладавший сверхъестественными возможностями и постоянно требовавший человеческих жертв. Тезей расправился с Минотавром, прибегнув к помощи волшебницы Ариадны. Миф как бы символизирует собой те трудности, с которыми сталкивается человеческое мышление в своём стремлении к истине. По Г.В. Лейбницу, «лабиринт мышления» можно в итоге определить как понятие, содержащее в себе противоречие, непреодолимое для человеческого разума. На основе «математических наблюдений над природой бесконечного» Г.В. Лейбниц приходит к выводу, что «…для человеческого ума существует два наиболее запутанных вопроса…» [Лейбниц 1982, 313]. А именно: «Первый из них касается структуры непрерывного, или континуума (compositio continui), а второй – природы свободы, и возникают они из одного и того же бесконечного источника» [Там же, 313]. При этом, как считает Лейбниц, «не должно быть сомнения в том, что существуют скрытые основания, превосходящие все возможности смертного разумения, [объясняющие], почему Бог предпочел один ряд (хоть и включающий заблуждение) другому» [Там же, 316]. Другими словами, по Лейбницу, «лабиринт мышления» непреодолим именно для человеческого разума, что как раз и приводит к ситуации, когда субъект не способен узреть «бесконечный ряд оснований, видимый до конца лишь Богу» [Там же]. Именно такова, по Лейбницу, бесконечность, как потенциальная, так и актуальная. Хотя потенциальная бесконечность всё же позволяет нам представить, каков этот «бесконечный ряд оснований, видимый до конца лишь Богу» конкретно. Актуальная бесконечность при этом категорически выходит «за рамки» даже этого понимания.

«Лабиринт мышления», связанный с бесконечностью, по Лейбницу, является предметом размышлений одних лишь философов. Отметим, что осознание всей специфичности представлений о бесконечном не помешало Лейбницу опереться на это понятие при разработке принципов дифференциального исчисления. Со времён Лейбница, конечно, многое изменилось, но, думается, что тема «лабиринтов мышления» и сегодня не менее актуальна. Представляется, однако, что сегодня эта тема приобретает более конкретные очертания, и интересна, прежде всего, в плане философского осмысления влияния представлений о бесконечности на развитие математической науки. Наиболее существенным это влияние становится в начале XX в., в период разработки теории множеств и последующего стремления математиков преодолеть парадоксы, обнаруженные в программах обоснования математики.

Одной из таких программ является программа математического формализма, разработанная крупнейшим немецким математиком того времени Д. Гильбертом. Большое внимание Д. Гильберт уделял осмыслению идеи математической бесконечности, которую, как математик, он стремился по возможности «нейтрализовать». Он хорошо понимал, что «ни одно другое понятие так сильно не нуждается в разъяснении, как нуждается в нём бесконечное», и что «математическая литература изобилует бессмысленностями и нелепостями, в которых в большинстве случаев повинна бесконечность» [Гильберт 1998, 432]. Д. Гильберт считал, что преодоление проблемы бесконечности способно вывести математиков к новым горизонтам и реалистично оценивал амбициозность поставленной задачи. В своих работах он, в частности, отмечал, что «окончательное раскрытие сущности бесконечного далеко выходит за пределы узких интересов специальных наук… оно стало необходимым для чести самого человеческого разума» [Там же]. Однако сегодня складывается впечатление, что он, видимо, всё же не предполагал, что поставленная цель в итоге приведёт его в настоящий «лабиринт мышления».

Только годы спустя выдающийся немецкий математик и один из «столпов» математического интуиционизма Г. Вейль сумел оценить общее влияние специфики представления о бесконечности на разработанные в этот период программы обоснования математики. В своих работах он, в частности, отмечал: «То, что мы слепо превратили одно в другое, является истинным источником наших трудностей, включая антиномии, – источник более фундаментальной природы, чем упомянутый расселовский принцип порочного круга» [Вейль 1989, 87]. Мы видим, что, уточняя гносеологическую ситуацию, сложившуюся в математике в этот период, Вейль указывает на истинный, по его мнению, источник всех обнаружившихся проблем. Он утверждает две вещи: во-первых, что актуальная бесконечность в программах обоснования математики фактически выступает под «маской» бесконечности потенциальной; и, во-вторых, что вовсе не «расселовский принцип порочного круга», а, скорее, выявленная специфика математического представления об актуальной бесконечности и обусловила парадоксы канторовской теории множеств, а также всех программ обоснования математики. По Вейлю, «расселовский принцип порочного круга», представлявшийся истинной причиной парадоксов теории множеств многим его современникам, является только следствием «превращения одного в другое». Здесь буквально напрашивается вывод о том, что данная ситуация стала следствием неявной подмены интуитивного представления об актуальной бесконечности представлением о потенциальной бесконечности. Понятно, что указанное «превращение одного в другое» и приводит к парадоксам, обнаружившимся в программах обоснования математики, и, фактически, имеет место классическая ситуация лейбницевского «лабиринта мышления».

Обратившись к истории математики, можно убедиться в том, что смешение математических представлений об актуальной и потенциальной бесконечности восходит ещё к математике Нового времени, когда актуально бесконечные и дискретные величины (бесконечные ряды и актуально бесконечно малые) вводились под видом величин непрерывных и потенциально бесконечных [Катасонов 1993, 56–58]. Например, Лейбниц, решая задачу квадратуры круга, выразил площадь круга в виде бесконечного ряда. При этом введение бесконечности в математическую теорию было осуществлено неявно, т.е. без объявления условий этого введения как со стороны математики, так и со стороны логики [Катасонов 1999, 23–24]. Актуально бесконечное, таким образом, «проникло» в математику неявно, под «маской» потенциально бесконечного. Скорее всего, это было обусловлено запретом на введение актуальной бесконечности в науку со стороны средневековой схоластики. Считалось, что только схоластика имеет право на решение вопросов, связанных с актуальной бесконечностью. Однако последующее развитие математики продемонстрировало, что дело не только в этом.

В дальнейшем, даже в период математической «революции строгости», бесконечное, по выражению Гильберта, «…всё-таки снова смогло, – в замаскированном виде, – продолжать свою игру в вейерштрассовой теории, не будучи задето остриём вейерштрассовой критики» [Гильберт 1998, 432]. При этом осложнения, связанные с актуальной бесконечностью, стали понятны многим математикам, и уже в начале XX в. математикам крайне важной представлялась именно теоретическая экспликация математических представлений об актуальной бесконечности, которая, наконец, позволила бы разграничить актуальную бесконечность и потенциальную бесконечность. Математики всё же не оставляли надежды выбраться из этого «лабиринта мышления».

Г.Кантор, работы которого по проблеме бесконечного в математике и философии признаны сегодня классическими, исследовал представления о бесконечном именно с этой целью. Он исходил из того, что «…бесконечные числа… ввиду своей противоположности конечным числам должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков» (цит. по: [Катасонов 1999, 17–18]). Такой подход к определению специфики бесконечного в математике создавал определённые сложности как для самого Кантора, так и для всего математического сообщества, поскольку явно выбивался за рамки математической науки и опирался на схоластическое представление о бесконечном. Кантор боролся с представлениями математиков о бесконечном как «обладающем теми же свойствами, что конечное». Он считал, что «бесконечное нужно изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного» [Катасонов 2000]. Бесконечное, по Кантору, это не просто никогда не заканчивающееся конечное (как бесконечно продолжающаяся числовая ось), а нечто качественно, принципиально иное.

Думается, что в своих поистине беспрецедентных попытках преодолеть проблему актуальной бесконечности в математике Кантор вполне сознательно пытался стереть грань между математикой и философией, которая в этот период была уже практически непреодолимой, во всяком случае, для самих математиков. В частности, Кантор отмечал, что метафизика и математика по праву, естественным образом, взаимосвязаны. Это единство метафизики и математики, обозначенное Кантором, состоит в том, что и метафизика, и математика стремятся теоретически осмыслить проблему актуально бесконечного, что представлялось крайне важным для обеих дисциплин – а, возможно, в кризисный период для математики было даже важнее, поскольку речь шла о решении жизненно важной для математической науки задачи, т.е. о достижении максимальной строгости и максимальной надёжности математической науки.

Дискуссии по работам Кантора велись в математике и эпистемологии в течение всего XX века. Сегодня с большой долей вероятности можно утверждать, что Кантор сознательно пытался преодолеть «лабиринт мышления», обусловленный актуальной бесконечностью. В этой связи можно согласиться с утверждением о том, что серьёзным вкладом Кантора в математику и теорию познания является «...его критика имеющих тысячелетнюю историю аргументов против существования бесконечности, основанных нередко на смешении актуальной и потенциальной бесконечности» [Катасонов web]. Аргументы такого рода традиционно сводились к тому, что само понятие «актуальная бесконечность» противоречиво, поскольку, например, для зафиксированного бесконечно большого числа всегда можно указать ещё большее число.

Очевидно, что такие аргументы могут лишь упрочить статус актуальной бесконечности в математике как «лабиринта мышления», не более того. Но что означает указанное «смешение актуальной и потенциальной бесконечности», и по какой причине оно возникает?

В современной философии математики доказано, что уникальная сложность математических представлений о бесконечности заключается, прежде всего, в теоретически непреодолимой двойственности математических представлений об актуальной бесконечности. С одной стороны, актуальная бесконечность есть элемент математической теории, но, с другой стороны, к актуальной бесконечности субъект познания обращается в рамках интуитивного математического мышления [Султанова 2009, 63–79]. На практике, при реализации математической деятельности, мышление вынуждено оперировать не теоретически выраженными, а интуитивно понимаемыми философскими предпосылками – формально-теоретические выкладки возможны только «на бумаге». В итоге это вызывает серьёзные осложнения при любых попытках формализации математических оснований, поскольку мышление математика, стремящегося преодолеть эту двойственность и, фактически, формализовать актуальную бесконечность, попадает в самый настоящий «лабиринт», все попытки преодоления которого оказываются неудачными.

Кроме Кантора наиболее близко к решению проблемы преодоления кризиса оснований математики и уточнению концепции актуальной бесконечности, а значит, и к возможному преодолению связанного с ней «лабиринта мышления», подошёл Гильберт с его программой математического формализма. Эта программа позволяла доказывать не истинность, а непротиворечивость математических утверждений, чем фактически и занимался Гильберт с 1922 г., когда была поставлена задача полной формализации математики и логики. Гильберт предполагал, что непротиворечивость арифметики можно доказать «финитными» средствами, т.е. не апеллируя к актуальной бесконечности. Для решения этой сложнейшей задачи он разработал так называемый метод «идеальных элементов», который позволяет сохранить классическую логику и, прежде всего, закон исключённого третьего и для бесконечных объектов математики, в частности, для бесконечных множеств. Понятно, что в этой ситуации как идеальные должны быть взяты любые переменные, содержащиеся в формализованной теории, вместо которых могут быть подставлены бесконечно большие числа. Необходимо только, чтобы введение «идеальных элементов» не разрушало непротиворечивый статус этой теории [Гильберт 1998, 431–438].

Такой подход, по сути, должен был предоставить возможности для формализации любой математической теории, причём формализация должна была осуществляться финитными методами, что, разумеется, означало бы полное обоснование надёжности математики. Ясно, что при этом «лабиринт мышления», связанный с актуальной бесконечностью, был бы преодолён окончательно и бесповоротно, и все чаяния Гильберта были бы реализованы в полном объёме. Однако всем этим надеждам не суждено было сбыться.

Как известно, результаты, полученные К. Гёделем в 1931 г., доказали, что поставленная задача именно таким образом, т.е. только финитными средствами, не может быть решена [Математическая энциклопедия 1985, 618]. Этот вывод следует из теоремы Гёделя о неполноте [Математическая энциклопедия 1977, 909–910]. В своём доказательстве Гёдель пронумеровал символы, формулы и последовательности формул в формализме Д. Гильберта определённым образом, тем самым трансформировав утверждение о непротиворечивости в предложение арифметики. Затем ему удалось показать, что это предложение не может быть ни доказано, ни опровергнуто в рамках гильбертовского формализма [Вейль 1989, 91]. Таким образом, было получено противоречие, что означает некорректность первоначального предположения.

Можно сказать, что теорема Гёделя оказала на математическое сообщество воздействие, подобное разорвавшейся бомбе. Характеризуя математический формализм, Вейль пришёл к выводу, что «...Гёдель нанёс этому подходу смертельный удар...» [Вейль 1989, 91]. Таким образом, Гёдель фактически доказал неразрешимость задачи обоснования непротиворечивости формализованной арифметики финитными средствами. Понятно, что сложившаяся ситуация ко всему прочему лишь вновь подтвердила статус актуальной бесконечности в математике как «лабиринта мышления».

Справедливости ради отметим, что из этих результатов Гёделя современные исследователи делают вывод о том, что «математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть, тем не менее, установлены менее формальным математическим рассуждением» [Перминов 2001, 202]. Этот вывод, по сути, означает, что отклонение от требования финитности может оказаться достаточным условием для реализации гильбертовой программы обоснования математики. И действительно, за прошедшие полвека математиками многое сделано в этом плане. Однако возможность именно финитного обоснования математики и в наши дни всё же представляется проблематичной [Козлова 1994, XXI]. Сами программы обоснования математики, выдвинутые крупнейшими математиками в начале XX в., сегодня могут оцениваться даже как «неадекватные по своему замыслу», а проблемы, для решения которых эти программы разрабатывались, по существу, могут считаться «концептуально неосмысленными». С последней частью этого утверждения, с учётом всего вышесказанного, трудно не согласиться.

Как бы то ни было, всё это в итоге означает, что математики до сих пор не нашли выхода из «лабиринта мышления». Возможно, дальнейшие исследования работ Кантора всё же смогут «пролить свет» на эту проблему.

 

Заключение

Исследуя вопрос о развитии представлений об актуальной бесконечности в математике, мы в итоге приходим к следующим выводам: 1) стремясь к полному обоснованию своей науки, математики вынуждены искать пути для «нейтрализации» бесконечности, что влечёт за собой в итоге необходимость формализации математических представлений об актуальной бесконечности; 2) стремясь формализовать представления об актуальной бесконечности, математики фактически «попадают» в лейбницевский «лабиринт мышления», что вызывает крушение соответствующих математических теорий.

Уточняя современное понимание «лабиринта мышления», необходимо учесть, что Лейбниц вводит эту метафору, основываясь на «чистой» метафизике. Думается, что важно раскрыть глубинные причины такого понимания актуальной бесконечности, и уточнить их в рамках парадигмы современной философии науки. В итоге это понимание можно конкретизировать следующим образом: действительно, «лабиринт мышления» непреодолим для человеческого разума, но не только вследствие того, что все исследования «дают бесконечный ряд оснований, видимый до конца лишь Богу», как думал Лейбниц, но ещё и вследствие того, что для человеческого мышления характерен феномен неявного знания. Факт его наличия не позволяет выстроить последовательный пошаговый алгоритм работы математического мышления – алгоритм, который бы был гарантирован от ретроспективной возможной экспликации «скрытых лемм» как некоторых новых «шагов», фактически реализующихся только в мышлении и «пропускаемых» при любой попытке воспроизведения самого алгоритма. И, если даже допустить мысль о том, что, например, такие «скрытые элементы» могут быть в итоге когда-либо обнаружены под воздействием контрпримеров и теоретически эксплицированы [Султанова 2009, 179-194], этого никак мы не можем сказать об актуальной бесконечности вследствие её непреодолимой двойственности, охарактеризованной здесь ранее. Таким образом, полученные выводы можно рассматривать как определённое уточнение и обоснование идеи Лейбница, согласно которой представление математиков о бесконечности является не просто «чрезвычайно сложным», но есть именно «лабиринт мышления». В этом, думается, и заключается основная причина того, что математическое мышление не подлежит тотальной алгоритмизации.

Интересно то, что сами математики не могли осознать этот факт на протяжении нескольких десятилетий. Констатирует факт «смешения» в мышлении математиков представлений об актуальной и потенциальной бесконечности только Вейль, однако этим он и ограничивается. В дальнейшем, в общем-то, никто из математиков не стремился разобраться в точке зрения Вейля, подтвердить её или опровергнуть. Справедливости ради отметим, что до открытия феномена неявного знания ни в философии, ни в математике не было для этого соответствующих методологических инструментов. Однако в современной философии, для которой характерно интенсивное развитие теории познания и философии науки, ситуация с представлением об актуальной бесконечности выглядит существенно иначе: думается, что истинная причина всех неудач программ обоснования математики, разработанных в первой половине XX в., определяется прежде всего спецификой математических представлений о бесконечном. Эта специфика заключается в том, что бесконечность представляет собой не просто «очень сложное понятие», транслируемое на неявно-интуитивном уровне мышления – бесконечность представляет собой подлинный «лабиринт мышления», когда субъект познания далеко не всегда способен осознавать, с какой же бесконечностью – актуальной или потенциальной – он реально в данный момент имеет дело. И этот «лабиринт мышления» последовательно и неуклонно выстраивается в рамках математического познания, при стремлении математиков как можно более строго обосновать свою науку. К сожалению, даже сегодня мы не знаем, как «выбраться» из этого лабиринта. Применение неявного знания в качестве методологического инструмента позволило эксплицировать концепцию актуальной бесконечности Кантора и разъяснить всю эту гносеологическую ситуацию, но не более.

Следует ли в итоге сделать вывод о том, что дедуктивная модель развития, в рамках которой математика развивалась со времени своего возникновения, исчерпала себя, и действительно пора переходить к другим основаниям? Или, возможно, революционный прорыв в математике будет совершён без столь радикальных трансформаций, и математика навсегда останется образцом дедукции? Думается, что ответ на эти вопросы будет непременно получен со временем, поскольку именно математика есть не просто «язык науки», а фундамент современной цивилизации, и именно от развития математики во многом зависит её будущее.

Или нам всё же придётся констатировать, что диалектика человеческого разума, выявленная ещё классической философией, и в полной мере проявившаяся в гносеологической ситуации с актуальной бесконечностью в математике, действительно является непостижимой для самого человека...

 

Источники и переводы – Primary Sources and Russians Translations

Вейль 1989 – Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989 (Weyl G. Gesammelte Abhandlungen. Russian Translation 1989).

Гильберт 1998 – Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М.: Факториал, 1998 (Hilbert D. Über die unendlichen  // Hilbert D., Bernays P. Grundlagen der Mathematik. Vol. I. Russian Translation 1998).

Лейбниц 1982 – Лейбниц Г.В. Два отрывка о свободе // Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х т. Т. 1. М.: Мысль, 1982 (Leibniz G.W. De Libertate. Russian Translation 1982).

 

Ссылки (References in Russian)

Катасонов 1993 – Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.: Наука,1993.

Катасонов 1999 – Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999.

Катасонов 2000 – Катасонов В.Н. Лестница на небо (генезис теории множеств Г. Кантора и проблема границ науки) // Границы науки. М.: ИФ РАН, 2000. С. 8–78.

Козлова 1994 – Козлова М.С. Проблема оснований математики // Витгенштейн Л. Философские работы. Часть II. Книга I. М.: Гнозис, 1994.

Математическая энциклопедия 1977 – Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977.

Математическая энциклопедия 1985 – Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1985.

Перминов 2001 – Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001.

Султанова 2009 – Султанова Л.Б. Неявное знание в развитии математики. Уфа, 2009.

 

References

Katasonov, Vladimir N. (1993) The Metaphysical Mathematics of XVII Century, Nauka, Moscow. (in Russian).

Katasonov, Vladimir N. (1999) Struggled with the Infinite. Philosophical and Religious Aspects of G. Cantor’s Ttheory of Set Genesis, Martis, Moscow. (in Russian).

Katasonov, Vladimir N. (2000) “Stairway to Heaven. The Genesis of the Theory of Sets G. Cantor and the Problem of the Boundaries of Science”, The Boundaries of Science, IF RAS, Moscow, pp. 8–78. (in Russian).

Kozlowa, Mariya S. (1994) “The problem of foundations of mathematics”, Philosophical works by Wittgenstein, Gnozis, Moscow. (in Russian).

Mathematical Encyclopedia, Vol. 1 (1977), Soviet Encyclopedia, Moscow. (in Russian).

Mathematical Encyclopedia, Vol. 5 (1985), Soviet Encyclopedia, Moscow. (in Russian).

Perminov, Vasily Ya. (2001) Philosophy and Foundations of Mathematics, Progress-Tradition, Moscow. (in Russian).

Sultanova, Linera B. (2009) Implicit Knowledge in the Development of Mathematics, Ufa. (in Russian).