От редакции. В 2009 году исполнилось 80 лет Елене Дмитриевне Смирновой - крупнейшему отечественному философу и логику. Ее труды по логической семантике стали классическими и внесли заметный вклад в развитие исследований в области философских оснований логики как в России, так и за рубежом. Ее многолетняя педагогическая деятельность, результатом которой являются несколько поколений высококвалифицированных логиков вызывает глубокое уважение.

Редакция и редколлегия журнала еще раз поздравляет Елену Дмитриевну, желает ей здоровья, новых творческих успехов, и с огромным удовольствием публикует ее новую работу, написанную специально для журнала «Вопросы философии».

Предлагается нестандартный, системный подход к анализу парадоксов. Проводится идея, что проблема парадоксов заключается не в их устранении, а в выявлении тех аспектов познавательной деятельности, с которыми они связаны, выявлении несогласованностей, которые парадоксы вскрывают в ней. В этом плане анализируется парадокс Рассела, парадокс Лжеца, метод идеальных элементов Д.Гильберта.

The non-standard system approach to the analysis of paradoxes is proposed. An idea is pursuing that problem of paradoxes consists not in their elimination but in revealing those aspects of cognitive activity which they are connected with, in displaying of non-coordination discovered by paradoxes. From this point of view Russell paradox, Liar paradox and D. Hilbert's "method of ideal elements" are analyzed.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА. Парадокс, истинность, аподиктическое знание, идеализации, типы идеальных объектов теорий, системный подход.

KEYWORDS: paradox, truthfulness, apodictic knowledge, idealizations, types of the ideal objects of theories.

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 09-03-00158а.

Обычно, рассматривая парадоксы, во главу угла ставят задачу их устранения. Выделяют отдельные предпосылки их возникновения, устранение которых ставит «барьер» на пути парадокса. Д. Гильберт правомерно ставит вопрос, как в такой точной науке, как математика, возникают противоречия, в чем здесь причина.

Парадокс следует отличать от «голого» противоречия, когда утверждается некоторое положение А и в то же время в том же отношении оно отрицается (нарушение логического принципа непротиворечия)[1].

На наш взгляд, решить проблему парадокса - не значит просто устранить парадокс. Дело не в этом. Необходимо выявить основания его возникновения, увидеть определенные несогласованности в нашей познавательной деятельности, которые парадокс вскрывает. Мы остановимся именно на этих вопросах.

Принимаемая логика, допустимые способы рассуждения, концептуальный аппарат теории, допускаемые виды абстракций и идеализаций, способы введения понятий, типы объектов рассматриваемых теорий - все это составляет единую систему, аспекты которой взаимосвязаны.

Парадоксы вскрывают эти взаимосвязи, они играют важную, конструктивную роль - роль окошечка в доменной печи, которое позволяет заглянуть в скрытую от поверхностного взгляда лабораторию нашей познавательной деятельности. Во многих случаях парадоксы содержат идеи, как отмечал Р.Смаллиан, после незначительной модификации приводят к значительным открытиям.

Остановимся на некоторых аспектах анализа парадоксов, связанных с трактовкой и обоснованием математического знания. С нашей точки зрения, особый интерес представляет подход Д. Гильберта, его исследование истоков парадоксов. В своем известном докладе «Естествознание и логика», подводящем итоги его деятельности, рассматривая природу математического знания, Гильберт во главу угла ставит неожиданно старый, традиционный философский вопрос: что в наше знание вносят, с одной стороны, опыт, а с другой - мышление [Гильберт 1990. 122-123]. Гильберт выделяет такие познавательные моменты, как принимаемые методы анализа, концепции, например, такие, как требование непротиворечивости, финитная установка, трактовка множеств как объектов и, в особенности условия введения идеальных образов, идеальных объектов теорий.

Подход Гильберта к обоснованию математики называют формализмом, видя его суть в формализации содержательной теории и доказательстве ее формальной непротиворечивости. Но является ли это обоснованием математической теории, математического знания? Именно в этом плане возражал Л. Брауэр. Почему доказательство непротиворечивости является обоснованием математики?[2]

Возражение было бы верным, но дело в том, что суть подхода Гильберта не в формализации теории и доказательстве ее непротиворечивости, а в обосновании вводимых в теорию идеальных объектов, в зависимости от этого логики, ее принципов и законов. Его метод следует назвать методом идеальных элементов - как он его называет сам. Таким образом, подход выходит за рамки обоснования только математического знания и подводит к упомянутому выше общефилософскому вопросу - что вносят в наше познание, с одной стороны, опыт, а что - мышление и каким образом.

Гильбертом ставится важнейший вопрос: повинна ли в возникновении парадоксов обычная содержательная, классическая логика, ее законы (как это принимается при интуиционистском подходе) или дело не в этом. В центр рассмотрения ставится вопрос об условиях, предпосылках применения логики, содержательных логических выводов, зависимости их от характера концептуального аппарата теории, от способов образования понятий, введения объектов теории. Такова их взаимосвязь.

«А содержательные логические выводы, когда мы их применяли к действительным вещам или событиям, - разве они нас где-либо обманывали и где-либо нам изменяли? Нет - содержательное логическое мышление необходимо. Оно нас обманывало только тогда, когда мы принимали произвольные абстрактные способы образования понятий; мы в этом случае как раз недозволенно применяли содержательные выводы, т.е. мы, очевидно, не обратили внимания на предпосылки, необходимые для применения содержательного вывода. В признании того, что такие предпосылки имеются, мы согласны с философами, особенно с Кантом» [Гильберт 1948а, 350].

Решая проблему истоков парадоксов, Гильберт разграничивает предложения математики на утверждения о подлинных объектах математики (действительные предложения) и утверждения об идеальных образах («идеальных элементах» в его терминологии) - идеальные высказывания. Первые семантически могут оцениваться как истинные или ложные, вторые не имеют истинностного значения, свой смысл они обретают только в контексте всей теории.

Но что представляют собой действительные предположения? Их истолкование требует разъяснения. Как нам представляется, объяснить трактовку действительных предположений математики можно лишь обратившись к кантовой идее (важнейшей идее!) разграничения «познания посредством понятий» и «познания посредством конструирования понятий». Именно оно является ключом к пониманию действительных предложений [Смирнова 2004, 1-9].

Так, по Гильберту, образуя понятие конечного числа в элементарной теории чисел, мы имеем объект I (единицу) и из него по определенной схеме конструируем в пространстве и времени объекты II, III, ... (их можно сокращенно обозначить значками-цифрами 1, 2, 3...). То, что положение «5 > 2» истинно, определяется конструированием соответствующих объектов. Не превращаются ли в таком случае действительные предложения в утверждения об объектах наглядного созерцания - знаках? Как это и вменялось Гильберту.

Однако действительные предложения Гильберта вовсе не являются эмпирическими утверждениями о знаках и знаковых комбинациях, как иногда полагали. Не случайно Гильберт называет их мыслимыми вещами [Гильберт 1948^б, 325]. Числовые знаки как эмпирические созерцания представляют собой единичные объекты, но связанные с конструированием понятия конечного числа, они репрезентируют общее («общезначимость») для всех возможных вещей (созерцаний), подпадающих под конструируемое понятие. Фактически они являются «кодом» и репрезентируют общие правила действия по конструированию понятия. Фактически в основе, можно показать, лежит кантова идея схематизма чистого созерцания, где «схема» не является схемой или образом предмета понятия. Она выступает, как правило, общий метод, посредством которого конструируется соответствующий понятию объект.

С этим связано объяснение креативного, расширяющегося и в то же время аподиктического характера действительного математического знания. Априоризм при этом понимается в особом смысле - как условия, алгоритм конструирования объектов в соответствии с правилами и сообразно понятию; «схема» же конструирования не берется из опыта.

Применение обычных правил и законов логики к такого рода действительным предложениям не ведет к парадоксам. В случае такого рода объектов теории мы не прибегаем к «абстрактным произвольным» способам образования понятий, к введению идеальных элементов в смысле Гильберта.

Однако уже элементарная математика не остается, по словам Гильберта, «на точке зрения наглядной теории чисел» и наряду с действительными включает идеальные предложения, предполагающие введение объектов, которые в принципе не могут быть даны ни в эмпирическом, ни в чистом созерцании. В этом плане метод идеальных элементов Гильберта как бы предполагает выход за рамки познания посредством конструирования понятий. И здесь кроется источник возникновения парадоксов. Мы вводим понятия, которые фактически не определяют объекты, за ними вообще не стоят объекты. И придание этой «системе иллюзий и фикций» статуса подлинных объектов теории ведет к парадоксам. Логика сигнализирует об этой опасности, нарушаются условия применения логики, содержательных логических выводов. В первую очередь речь идет о понятиях, связанных с бесконечностью, с трактовкой бесконечности как завершенного объекта - предмета теории («мир в целом», «причина всех причин», «общий идеальный делитель чисел», «множество всех множеств» и т.д.).

«Но так как идеальные высказывания... сами по себе не имеют значения, поскольку они не выражают конечных утверждений, то логические операции над ними не могут производиться содержательно, как над конечными высказываниями» [Гильберт 1948^а, 358].

С философской точки зрения идеальным образам (идеальным элементам по Гильберту) отводится фактически роль кантовских трансцендентальных идей, идей разума, «если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности...» Гильберт 1948^а, 364].

Возникает дилемма: либо отказаться от введения такого рода идеальных объектов, либо отказаться от сохранения всей классической логики в полном объеме. Но введение такого рода идеальных образов необходимо для целостности теории, для сохранения математики во всем ее объеме («канторова рая»), для сохранения всей классической логики. Чтобы избежать парадоксов, можно найти выход в том, чтобы сохранить логические законы, «справедливые в области конечных высказываний». «Но мы ведь не хотим отказаться от пользования простыми законами аристотелевой логики, и никто, говори он даже ангельским языком, не удержит людей от того, чтобы отрицать любые утверждения и применять закон исключенного третьего» [Гильберт 1948^а, 355]. Такова неразрывная связь логики, допускаемых способов рассуждения и законов, с концептуальным аппаратом теорий, допускаемыми абстракциями и идеализациями, с типом идеальных объектов теории. Логические парадоксы обнаруживают эту связь.

Трансцендентальные понятия играют особую роль: они порождаются разумом в его стремлении к целостности и системности познания, они определяются этой целью. Именно такую роль выполняют идеальные элементы Гильберта.

Отметим, что именно идеальные высказывания, а не действительные играют определяющую роль в теоретическом конструировании моделей мира. Идеальные объекты выполняют функцию «строительных лесов» в таком конструировании. Идеи разума (идеальные элементы), определяемые принципами систематизации знания, не извлекаются из опыта и не направлены на объекты. Этот важнейший аспект использования идеальных образов, «идеальных элементов», определяет возможность конструирования теоретических картин мира, определяет с теоретико-познавательной точки зрения принципиально иной подход к трактовке теоретического знания. Теоретическое познание не сводится к обработке, суммированию данных опыта. Это создает относительную независимость теоретических конструктов, возможность их «отрыва» от эмпирии. Речь в этом случае идет не просто об «отображении» того, что имеет место, а о возможности построения теоретических картин, «моделей» мира. Сказанное относится отнюдь не только к обоснованию математического знания.

Интересно отметить, что Г. Вейль, рассматривая утверждения теоретической физики, отмечал, что «наш теоретический интерес не заключается исключительно и даже преимущественно в "действительных предложениях"... а скорее в идеальных предложениях... что в теоретической физике с опытом согласуются не отдельные предложения, а вся теоретическая система в целом» [Клини 1957, 58].

Однако такое «произвольное» введение идеальных образов, за которыми не стоят никакие предметы, означает выход за пределы всякого возможного опыта в принципе. И придание этой системе «фикций» статуса предметов теории ведет к парадоксам, нарушаются условия, границы применения классической логики.

Одним из путей решения отмеченной выше дилеммы является сохранение классической логики, но введение, по меткому выражению Канта, «заградительных мер» применительно к миру идей разума. Вопрос стоит в экспликации этих «заградительных мер». Развитие этой идеи мы видим у Гильберта в его методе идеальных элементов. С нашей точки зрения речь идет о согласовании, «состыковке» концептуального аппарата теорий, включающего идеальные образы, и логики.

В методе Гильберта введение идеальных элементов связано с обязательным, абсолютно необходимым ограничительным условием - доказательством их устранимости из контекста всей теории. Расширение теории, осуществляемое посредством введения идеальных объектов, допустимо только в том случае, если при этом в старой, узкой области действительных объектов противоречий не возникает, т.е. при условии, что соотношения, которые получаются для прежних объектов посредством идеальных, после исключения идеальных имеют место в старой области [Гильберт 1948^а, 362]. Так формализация теории и доказательство ее непротиворечивости, с нашей точки зрения, вовсе не являются у Гильберта самоцелью (упрек Брауэра, что они не дают обоснования математическому знанию), они связаны именно с элиминируемостью идеальных элементов. В качестве пути экспликации понятия элиминируемости нами предлагается понятие консервативного расширения теории [Смирнова 1996, гл. 6, §2].

Отметим, что как объекты действительных предложений, так и объекты идеальных высказываний (идеальные элементы) не являются объектами опыта, это идеальные объекты. Но статус их разный, что  и показывают парадоксы.

Так анализ истоков логических парадоксов приводит к раскрытию важных аспектов построения теоретического знания. Как отмечал Ст. Клини, непосредственная проблема устранения парадоксов поглощается более широкой проблемой обоснования математики и логики. Скажем шире - обоснования теоретического, аподиктического знания и логики.

Иной комплекс вопросов, связанных с нашей интеллектуальной, познавательной деятельностью, поднимает парадокс Рассела. Казалось бы, речь идет о вполне устоявшихся, традиционных понятиях и принципах. Однако парадокс показывает необходимость их пересмотра и экспликации. Прежде всего речь идет о понятии как форме мысли, об основных логических характеристиках понятий. Далее, встает вопрос трактовки множеств (классов), их статуса как идеальных объектов. Наконец возникает необходимость экспликации понятия самоприменимости, видов самоприменимости, условий появления «пагубной» самоприменимости, ведущей к парадоксам.

Что представляет собой понятие как форма мысли, как форма интеллектуальной деятельности? Понятие есть мысль, которая посредством указания на некоторый признак (совокупность признаков) выделяет из универсума рассмотрения и собирает в класс (обобщает) предметы, обладающие этим признаком (этой совокупностью признаков). Соответственно, у каждого понятия есть объем - класс предметов, обобщаемых в понятии (подпадающих под понятие), и содержание - та совокупность признаков, на основании которой осуществляется обобщение и выделение. Отметим, что объем понятия есть идеальный объект нашей мыслительной деятельности (в отличие от, например, груды камней - мереологического объединения - представляющего собой реальный предмет). Соответственно, казалось бы, по любой совокупности признаков, объективно присущей объектам, мы можем обобщать и выделять их в понятии.

Из определенного понятия вытекает принцип (условие): (1) Любой объект принадлежит объему понятия (классу х^(А(х)), если он обладает соответствующей совокупностью признаков А, т.е. уÎ х^(А(х) º А(у). (Так, любое число у подпадает под понятие «четное число», е.т.е. оно делится на два.)

Множества (классы) - идеальные объекты, но они также наделены свойствами - могут быть пустыми, конечными, бесконечными и т.п. и между ними объективно существуют определенные отношения.

Рассмотрим свойство множества «быть нормальным» - N. Множество называется нормальным, если оно не включает себя в качестве собственного элемента (т.е. N(a) = aÏa). Если мы на основании признака N произведем обобщение, то получим множество a^N(a), т.е. a^(aÏa), - получим понятие «множества всех нормальных множеств». И расплачиваемся парадоксом: в силу принципа (1), вытекающего из определения понятия, получаем (1´) для любого множества a оно принадлежит множеству нормальных множеств, если не содержит себя в качестве своего элемента, т.е. a Î a^N(a) º (aÏa). Подставим вместо переменной a объект - множество a^N(a) и поучаем противоречие - известный парадокс Рассела.

За этим следуют существенные вопросы.

Либо надо отказаться от условия (1) и принять, что не по всяким признакам можно обобщать мыслимые предметы и образовывать понятия (но тогда - по каким?). Парадокс в этом случае действительно не проходит. Но дело не в том, чтобы механически поставить на пути парадокса «барьер», - надо смотреть, к чему это ведет. Условие (1) вытекает из определения понятия, отказ от (1) (или пересмотр его) означает пересмотр того, чем является понятие как форма мысли.

Либо мы сохраняем условие (1), но тогда мы получаем парадокс. Парадоксы как раз и сигнализируют о сложностях, связанных с введением таких идеальных объектов как множества, а именно они выступают объемами понятий.

В связи с парадоксом Рассела поднимается вопрос о статусе таких идеальных объектов как множества. Опять-таки, казалось бы, общеизвестные объекты научных теорий - основа их понятийного, концептуального аппарата. (Множество натуральных чисел, множество четных чисел, трапеции, земноводные, кислоты, слова, являющиеся глаголами, и т.д. и т.д.) Такого рода классы - основа соответствующих классификаций. Однако, как отмечал еще В. Куайн, одно дело реальное, мереологическое объединение предметов, представляющее собой реальную совокупность, другое - мысленное объединение объектов и придание ему статуса предмета - объекта рассмотрения. Вот важный момент, который ускользает от нас при анализе шагов познавательной деятельности.

Парадокс Рассела возникает в системе, где как раз экстенсии предиката придается статус объекта, предмета. При этом на самом деле совершается «скачок», применяется принцип абстракции, казалось бы, вполне обоснованный. В особый объект выделяется то общее, что объективно имеют эквивалентные предикаты, выполняющиеся для одних и тех же объектов («быть равносторонним треугольником» и «быть равноугольным треугольником», «делиться на 2 и на 3» и «делиться на 6» - для чисел)[3]. «Скачок» заключается в том, что далее мы уже делаем утверждения об их объемах, что они равны.

В силу этого в условии (1'), как показано выше, вместо переменной a может подставляться в качестве объекта класс a^(N(a). В противном случае этот шаг на пути парадокса не проходил бы. Он проходит в силу принятия указанного принципа абстракции и встает вопрос об обосновании правомерности такового.

Наконец, в связи с парадоксом возникает более общий вопрос - об анализе самоприменимости, видов самоприменимости, истоков «пагубной» самоприменимости. Общую причину парадоксов Рассел видел в том, что в познавательной деятельности мы допускаем приемы, близкие к «порочному кругу», порождая тем самым «монстров», ведущих к противоречиям. Рассуждения Рассела в этом плане очень любопытны. Допустим, мы имеем некоторое множество объектов и при этом предполагаем, что они образуют некоторую совокупность, единство (класс M) и в то же время принимаем, что объект m, определение которого содержит ссылку на эту совокупность, сам может быть элементом этой совокупности - mÎM, тогда, согласно Расселу, это множество предметов не образует совокупности. Фактически - это определенный аспект проблемы единого и многого. С точки зрения логики речь идет об использовании непредикативных определений - мы указали на одно из таковых.

Опять-таки проблема - что такое класс как единое и условия его образования. В случае рассмотренного парадокса допущение включения объекта a^(N(a) в множество всех нормальных множеств, т.е. оценка его самого как нормального, означало бы, что объекты (нормальные множества) не образуют единой совокупности, множества (класса).

Однако отказ от непредикативных определений слишком сильное требование: во-первых, вовсе не всегда они ведут к парадоксам и, во-вторых, отказ от непредикативных определений означает существенное обеднение логических средств. Так, в канторовом доказательстве несчетности множества одноместных арифметических функций вводится диагональная функция, определение которой содержит ссылку на множество (пересчет) одноместных арифметических функций, в которое она включается как элемент, будучи одноместной арифметической функцией. Но парадокса не возникает. Однако в случае известного (семантического) парадокса Ришара введение такого рода функции посредством указанного ее определения ведет к парадоксу.

Следовательно, возникает задача анализа условий, при которых использование непредикативных определений ведет к «пагубной» самоприменимости. Это важный аспект исследования допустимых приемов и методов интеллектуальной деятельности - в частности условий прохождения «на грани» порочного круга.

Обратимся теперь к парадоксу Лжеца, относящемуся в разряду семантических. Парадокс этот связан с понятием истинности, условиями истинностных оценок суждений и экспликацией понятия истинности в логической семантике. В основе такой экспликации лежит определенная философская концепция истинности.

Разные подходы к анализу причин возникновения парадокса Лжеца связаны с разными моментами, предпосылками познавательного характера.

Так, А. Тарский, как известно, выделяет два условия возникновения парадокса: 1) Особый характер языка - язык семантически замкнут: наряду с предложениями, относящимися к объектам рассмотрения, язык содержит семантические предикаты («истинно», «ложно»), относящиеся к предложениям этого же языка. Таким является естественный язык. 2) Принимается обычная классическая логика.

При этом в основе экспликации условий истинности лежит корреспондентская концепция истинности. Речь идет о классическом, аристотелевском понятии истинности (как соответствия высказывания действительности), экспликацией которого выступает известная схема Тарского (Т)[4].

Схема, естественно, не является определением понятия истинности, она только эксплицирует условие применения предиката истинности к (рассматриваемому) высказыванию - устанавливает тем самым условие адекватности вводимого по определению понятия истинности определенному исходному, содержательному понятию истинности.

На базе такого классического понятия истинности были получены важные результаты. Однако в связи со схемой возникает ряд вопросов, ряд трудностей. Во-первых, отметим неразрывную связь смысла (осмысленности) высказывания и условий его истинности. Если мы понимаем высказывание, мы можем указать верифицирующее его положение дел, и обратно: «Der Schnee ist weiß» - Ист º снег бел.

Однако вопрос осмысленности высказываний не является столь однозначным. Не всегда понимать высказывание - значит знать условие его истинности, например в случае высказываний типа «Гамлет черноволос», или в случае утверждений о бесконечно удаленной точке в проективной геометрии и т.д.

Далее, встает вопрос о трактовке «действительности» в схеме. Дело в том, что схема релятивизирована к одному-единственному миру - w₀, действительному миру. Однако истинность высказывания может зависеть от моментов времени, положений дел в них и от других «точек соотнесения», которые должны учитываться при установлении верифицирующего положения дел - p. Что считать, например, верифицирующим положением дел p в случае истинностной оценки модальных, интенсиональных и т.д. высказываний?

Наконец, в схеме идет речь об условиях истинностной оценки отдельного, изолированного высказывания, взятого вне контекста. Однако условия истинностных оценок высказываний могут зависеть от истинности (ложности) связанных с ними высказываний (пресуппозиций высказываний). В рассмотрение вступают определенные аспекты когерентной концепции истинности. Более того, некоторые высказывания свой смысл получают в контексте всей теории. Таковыми, напомним, по мысли Д. Гильберта, являются идеальные высказывания математики (высказывания об «идеальных элементах»).

В связи с подходом Тарского поднимается весь этот комплекс вопросов. Тарский - в аспекте парадокса Лжеца - предлагает сохранить классическую логику и ее законы, как не ведущие к противоречиям, но отказаться от семантической замкнутости языка. Фактически речь идет о разграничении объектного и метаязыка с его понятийным аппаратом. В основе экспликации остается корреспондентская концепция истинности, связанная со схемой (Т).

Другая линия анализа парадокса Лжеца связана с иными его аспектами. Эта линия предполагает введение необоснованных (индетерминированных) высказываний - высказываний, не получающих истинностных оценок. Однако в этом случае меняется логика, трактовка, например, отрицания и, соответственно, других логических связок. Изменяются при этом и принципы логики, так, в случае отрицания, сопоставляющего необоснованному высказыванию необоснованное, не сохраняется принцип исключенного третьего. Вскрывается зависимость логики, ее принципов от условий истинностных оценок суждений.

Необоснованность суждений может определяться условиями различного типа, например трактовкой осмысленности высказываний. Согласно схеме Тарского, предполагается, что если мы понимаем предложение, значит, оно осмыслено и может оцениваться как истинное или ложное. «Понимать предложение - значит знать условие его истинности» - утверждал Р. Карнап в соответствии со схемой. Однако, как уже упоминалось, понимание предложения не всегда ведет к фиксации условий его истинности. Так, предложение «Гамлет черноволос» мы понимаем, но не можем фиксировать условий его истинности. В случае предложения Лжеца, мы его также понимаем, но его истинностная оценка ведет к противоречию.

Возникает, соответственно, задача выделения критериев осмысленности предложений, фиксации правил языка, обеспечивающих такую осмысливаемость.

Помимо прочих условий (учета контекста, определений вводимых понятий и т.д.) существенную роль играет соблюдение требования категориальности. Обычные предикаты (свойства) задаются на всем множестве объектов рассмотрения, тогда и возникают «парадоксальные» по смыслу утверждения: «Цезарь - простое число», «Дух зеленый», «Добродетель треугольна» и т.п.[5]

Условие категориальности предполагает выделение областей приложения (range of application) предикатов (свойств). Тогда областью предиката «быть простым числом» будет множество натуральных чисел и приведенное выше высказывание не будет отвечать критерию осмысленности. Нарушение требования категориальности дает семантически некорректное предложение. Отсюда вытекает введение не всюду определенных функций и предикаты относятся к таковым.

Сказанное относится и к семантическим предикатам - «истинно», «ложно» - т.е. они задаются не на всем множестве высказываний. В данном случае именно это выступает источником появления индетерминированных предложений[6].

Важно то, что введение индетерминированных предложений связано с изменением логики, определенных ее законов (чего нет при подходе Тарского). Меняются условия истинностных оценок высказываний, и логика «реагирует» на это.

Поскольку как обычные, так и семантические предикаты могут рассматриваться как не всюду определенные, возникают разные варианты семантик:

(1) Как стандартные, т.е. несемантические, предикаты, так и семантические предикаты могут быть не всюду определенными.

(2) Несемантические, предикаты могут быть не всюду определенными, но семантические предикаты всюду определены.

(3) Стандартные предикаты являются всюду определенными, но семантические предикаты могут быть не всюду определены.

(4) Как стандартные, так и семантические предикаты всюду определены.

В последнем случае (4) мы имеем дело с ортодоксальным подходом. Семантически замкнутые языки со всюду определенными предикатами противоречивы, в них возникает парадокс Лжеца. В случае с не всюду определенными предикатами (1) меняется схема Тарского: условия, которым должен отвечать предикат «быть истинным высказыванием», меняют свой смысл [Смирнова 1996, гл. 5, §5].

В случае варианта (3), когда семантические предикаты могут быть не всюду определенными, возможно сохранение семантической замкнутости языка - предикат истинности вводится в объектный язык. Парадокс не возникает за счет того, что предикат истинности не является всюду определенным.

Реализацией такого варианта выступает, например, построение семантики, предлагаемое С.Крипке в его известной работе «Подход к построению теории истинности» [Крипке 1975, 690-715]. Базой остается корреспондентская концепция истинности и ее экспликация посредством схемы Тарского. Язык семантически замкнут, в нем возможны предложения, утверждающие свою собственную истинность или ложность (как это имеет место в естественном языке). Семантика строится индуктивно - шаг за шагом вводятся (на базе строгих индуктивных правил) классы предложений языка, образуя определенную иерархию таковых. Например, на первом уровне могут быть предложения, говорящие об объектах универсума рассмотрения, на втором к ним добавляются предложения, утверждающие истинность (ложность) предложений первого уровня и т.д., см.[Смирнова 1996, 203-210]. Фактически это означает фиксацию в семантически замкнутом языке определенных страт, уровней - вместо введения иерархии самих языков: объектного языка, метаязыка и т.д. Приписывание предикату истинности его объема, т.е. класса подпадающих под него предложений, определяется выделенными уровнями языка.

Уровни, на которых выполняется схема Тарского (т.е. предложения этого уровня, отвечают условиям схемы (Т)), называют «фиксированными точками». Это уровни, на которых понятие истинности отвечает корреспондентской концепции истинности.

Данный подход позволяет провести тонкий анализ самоприменимых предложений, содержащих предикат истинности. Обоснованные (получающие истинностную оценку) предложения имеют истинностное значение в наименьшей (по построению) фиксированной точке, в противном случае они индетерминированные. К числу индетерминированных относятся, например, предложения, утверждающие свою истинность или не истинность. Парадоксальное предложение, например Лжеца, не имеет истинностного значения ни в одной фиксированной точке построения, т.е. ни на одном уровне построения, на котором выполняется схема Тарского, соответственно на котором верна классическая концепция истинности. Тогда всякое парадоксальное предложение не обосновано, но не наоборот.

Данный подход к анализу парадокса Лжеца вскрывает важные аспекты рассмотрения языка: условия допущения семантически замкнутых языков, не ведущие к противоречиям, различные трактовки экстенсии понятия истинности в зависимости от выделяемых страт языка, зависимость разграничения обоснованных и индетерминированных высказываний от выполнения схемы Тарского. «Пагубная» и «непагубная» самоприменимости отделяются.

Нами предлагается особая линия анализа парадокса Лжеца на базе обобщающего подхода к построению семантик [Смирнова 2005, 249-263]. При этом подходе становится возможным учет определенных аспектов когерентной концепции истинности. Соответственно пересматривается классическая схема Тарского. Пересмотр схемы фактически означает пересмотр условий истинностных оценок высказываний и тем самым в определенном смысле трактовки самого понятия истинности. В схеме Тарского, как отмечалось, речь идет об условиях истинностной оценки высказывания, взятого изолированно, во-первых, и о его истинностной оценке в «действительном» мире, во-вторых. Но тогда трактовка «действительного» мира и его универсума в свою очередь требуют экспликации. Более того, истинностная оценка высказывания зависит от условий. Как отмечалось выше, в случае идеальных высказываний в смысле Гильберта, например, высказывание получает свою интерпретацию только в контексте теории. Обобщающий подход позволяет в определенной мере учитывать эти моменты.

Если при классическом подходе высказываниям приписываются значения t и f (и, л), то при обобщающем пропозициональным переменным (высказываниям) в качестве значений приписываются области и антиобласти. Используется понятие множества возможных миров W. Важно, что при этом миры могут трактоваться различным образом - как условия, подтверждающие или опровергающие высказывания, как допустимые положения дел, детерминируемые соответствующими постулатами - будь то постулаты значения или постулаты, основоположения определенных теорий. Обозначим φ_T(А) Í W область высказывания А - множество миров (условий), когда оно имеет место. По-другому это можно трактовать как множество обстоятельств (условий), подтверждающих или обусловливающих А. Аналогично φ_F(А) Í W - антиобласть А - множество миров, опровергающих, фальсифицирующих А.

При таком подходе истинность высказывания релятивизируется к миру («обстоятельствам») изначально. Предложение А истинно в мире w_i, е.т.е. «условие» w_i принадлежит к условиям, верифицирующим А, т.е. к его области (w_i Î φ_T(А)). Аналогично предложение А ложно при условии w_i (в «мире» w_i), если w_i принадлежит к условиям, когда А не имеет места (w_i Î φ_F(А)), к условиям, фальсифицирующим его.

Область предложения и его антиобласть могут в совокупности охватывать, а могут не охватывать всю совокупность обстоятельств, принимаемых во внимание, т.е. множество миров W. Если они не охватывают все множество W: φ_T(A) È φ_F(A) ¹ W, то появляются необоснованные предложения. Если предложение А не подтверждается рассматриваемыми, выделенными обстоятельствами, т.е. φ_T(А) = Æ, и если оно не опровергается, не фальсифицируется ими, т.е. также и φ_F(А) = Æ, то предложение А - индетерминированное. Оно не истинно и не ложно при данном W. Именно таким образом трактуется индетерминируемость предложения Лжеца (обозначим его Л) - нет условий, верифицирующих его, и нет условий, фальсифицирующих его в рамках W (φ_T(Л) = Æ и φ_F (Л) = Æ).

Но если при этом принимается, что область и антиобласть предложения совместно исчерпывают W - все обстоятельства (φ_T(A) È φ_F(A) = W), возникает противоречие. Предложение не только индетерминировано, оно парадоксально. Соответственно, всякое парадоксальное предложение индетерминировано, но индетерминированное предложение не обязательно парадоксально.

При данном подходе индетерминируемость высказываний трактуется особым образом, она зависит не от страт языка и выполнения схемы Тарского, а от учета условий, подтверждающих А, - φ_T(A) и от условий, его опровергающих, - φ_F(A). Включаются в рассмотрение определенные аспекты когерентной концепции истинности[7].

Интересно отметить, что противоречия могут возникать если допустить, что области и антиобласти предложений пересекаются - φ_T(A) Ç φ_F(A) ¹ Æ, предложение подтверждается и одновременно опровергается в рамках теории (например, «круглый квадрат кругл» и т.п.).

Таким образом, в целом нет единого подхода к «решению» парадокса Лжеца (как, впрочем, и в случае иных парадоксов). В разных условиях познавательной деятельности, с учетом разных ее аспектов подходы будут разные. Логика может приниматься классическая, но иные предпосылки варьируются. Могут учитываться разного типа обстоятельства, пресуппозиции. Соответственно, в семантике вводятся разного типа объекты - вроде значений предложений t и f или областей предложений и т.д. Но в основе лежат идеальные связи, речь идет о необходимости абстрактных сущностей в семантическом анализе. При рассмотрении понятия истинности высказываний могут учитываться условия (контексты), подтверждающие (или опровергающие) их. Индетерминируемость зависит от наличия этих условий. Парадокс Лжеца выявляет все эти предпосылки. Парадокс связан также с вопросами философии языка, с анализом выразительных возможностей языков и теорий (известная теорема Тарского).

В связи с парадоксом Лжеца встает вопрос о единственности логики или принятии многих логик, об обосновании принципов и законов логики.

И. Кант считал формальную логику единственной и завершенной. Э.Гуссерль полагал, что в основе логических законов лежат связи идеальные, не зависящие от субъекта, от способа их реализации в сознании. Отметим, что в принципе такая трактовка не ведет к единственности логики, т.к. связи эти могут быть разного типа.

В целом встает вопрос о единственности «нашей» логики или о возможности иных логик, отличных от «нашей». Не носит ли в таком случае логика, логические законы субъективный или конвенциальный характер?

Возможность существования иных логик с отличными от «нашей» логики законами и принципами связывается в случае анализа парадокса Лжеца, с одной стороны, с онтологическими предпосылками - с характером объектов рассмотрения, с другой - с предпосылками гносеологического порядка.

В первом случае речь идет о включении в рассмотрение идеальных объектов разного типа, например типа «идеальных элементов» в смысле Гильберта, возможных, «воображаемых» миров с их универсумами и т.д.

Но иные логики могут возникать по иным мотивам - в связи с пересмотром принципов логики независимо от «онтологии» мира - в связи с пересмотром понятий истинности, ложности, отношений между ними, трактовкой отрицания, отношения логического следования, в связи с анализом выразительных возможностей языков и теорий.

Но в обоих случаях речь идет об анализе идеальных связей, лежащих в основе логических принципов.

Вопрос о единой логике или многих логиках, как нам представляется, становится прозрачным, если учесть упомянутый в начале системный подход к логике, ее месту и принципам: не просто механическое изменение законов логики и каких-то ее основоположений - отказ от одних и принятие других (речь идет не о логических формализмах), - а ее место в определенной системе познавательной деятельности с ее особенностями и принципами. Тем самым логика не есть нечто абсолютное, «присущее нашему уму». Принимаемые явным или неявным образом определенные абстракции и идеализации, определенные нормы и принципы познавательной деятельности - вот что детерминирует те идеальные связи, которые лежат в основе логики, ее законов.

Так, введение таких идеальных объектов как классы в качестве объемов понятий, идеальные отношения между ними детерминируют рассуждения силлогистического типа. Аналогично введение понятий возможных миров, областей и антиобластей высказываний на их основе, отношения между ними детерминируют определенные типы рассуждений, законы - логики релевантного типа, логики с пресыщенными оценками, истиннозначный провал (gap) в случае парадокса Лжеца.

Таким образом, логика, ее принципы и законы не являются законами и принципами некоторого «естественного», природного процесса мышления (как это полагали представители эмпиризма, психологизма в логике), не являются законами того, как «протекает» наше мышление. Тогда логические связи могут реализовываться, соответственно, не только в естественном языке, но и посредством введения искусственных языков логики

Литература

Гильберт 1990 - Гильберт Д. Естествознание и логика // Кантовский сборник. Вып. 15. Калининград, 1990.

Гильберт 1948^а - Гильберт Д. О бесконечном // Основания геометрии. М.; Л., 1948.

Гильберт 1948^б - Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики // Основания геометрии. М.; Л., 1948.

Клини 1957 - Клини Ст. Введение в метаматематику. М., 1957.

Крипке 1975 - Kripke S. Outline of a theory of truth // The Journal of Philosophy, 1975. Vol. 92.

Смирнова 1996 - Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: РОССПЭН, 1996.

Смирнова 2005 - Смирнова Е.Д. Обобщающий подход к построению семантики и его методологические основания // Логические исследования. Вып. 12. М., 2005.

Смирнова 2007 - Смирнова Е.Д. Теоретико-познавательные и логико-семантические основания парадоксов // Логические исследования. Вып. 14. М., 2007.

Смирнова 2004 - Смирнова Е.Д. И. Кант и вопросы обоснования аподиктического знания // Международный конгресс, посвященный 280-летию со дня рождения и 200-летию со дня смерти Иммануила Канта. Материалы конгресса. М.: ИФРАН, 2004.

Примечания

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 09-03-00158а.

[1] Обратим внимание на то, что и в этом случае следует учитывать определенные условия, смыслы употребляемых терминов, чтобы решать, имеет ли место нарушение закона непротиворечия. (Так, в случае утверждения «Я знаю, что я ничего не знаю» надо учитывать смысл «знаю» в обоих случаях.)

[2] «Неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, - писал Брауэр, - не становится от этого менее неправильной, подобно тому как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным» (цит. по Клини [4; с. 56-57]).

[3] От утверждения "x(P(x)) º Q(x)) - свойства P и Q равнозначны, мы переходим к утверждению, что их экстенсии равны, т.е. х^P(х) = х^Q(x), вводя тем самым соответствующие объекты-множества, классы.

[4] Х Î Ист º р, где вместо Х подставляется имя предложения, а вместо р - высказывание, фиксирующее определенное положение дел в действительности. «Der Schnee ist weiß» - Ист º снег бел, например.

[5] В случае метафоры как художественный прием нередко специально используют нарушение принципа категориальности («...словно я весенней гулкой ранью проскакал на розовом коне»).

[6] Источниками индетерминированности высказываний может быть и допущение истинно-значных провалов (gap), введение оценки «неопределенно» наряду с «истинно» и «ложно», учет пресуппозиций истинностных оценок высказываний и др.

[7] В принципе существенную роль при данном подходе играет трактовка антиобластей высказываний - φ_F(A):

1. Если φ_F(A) рассматривать как дополнение к классу φ_T(А) - области А, т.е. как φ_T(А)', то это означает множество миров (обстоятельств) в рамках W, не подтверждающих А. Тогда область и антиобласть высказывания исчерпывают W.

2. Но если трактовать φ_T(А)  - как условия, опровергающие А (например, есть условия, обосновывающие не-А в рамках теории), тогда область и антиобласть задаются независимо, и их объединение не обязательно исчерпывает W, возможно φ_T(A) È φ_F(A) ¹ W. Такая трактовка антиобласти φ_F(A) ближе к конструктивистскому подходу.