Статья посвящена философии Курта Геделя, в частности малоизвестным концепциям, которые стали доступны после посмертной публикации его записных книжек и других материалов. Дана характеристика источников сведений о философии Геделя, ее связи с философскими системами Лейбница и Канта. Рассмотрена поставленная Геделем дилемма: либо существуют абсолютно неразрешимые математические утверждения, либо человеческий ум превосходит конечную машину. Показана философская важность дилеммы в противостоянии двух направлений – ментализма и механицизма – в понимании соотношения человеческого и машинного мышления. Объяснены позиция Геделя как менталиста и происхождение его рационалистического оптимизма.

The article is devoted to philosophy of K. Gödel, particularly to his practically unknown until recent time concepts which were extracted from his Nachlass after his death. The connection of Gödel’s philosophy with systems of Leibniz and Kant is characterized. The Gödel’s dilemma is considered: either human mind surpasses a finite machine, or there exist absolutely undecidable mathematical assertions. The philosophical importance of the dilemma is explained in connection of opposing mentalism to mechanicism, or interrelation between human reasoning and machine deductive inference. The mentalist convictions of Gödel are described as a manifestation of his “rationalistic optimism”.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: Гедель, неразрешимость, рационалистический оптимизм, человеческий ум, машинный вывод, ментализм, механицизм, мистицизм.

KEY WORDS: Gödel, undecidability, rationalistic optimism, human mathematics, machine inference, mentalism, mechanicism, mysticism.

Теоремы о неполноте Геделя являются одними из самых известных результатов в математической логике, и по общему признанию, имеют важные философские следствия о пределах возможностей человеческого мышления. Сопровождаемые большим числом искажений и упрощений, философские интерпретации теорем остаются одной из самых обсуждаемых тем не только собственно в философии математики, но также и в философии сознания и эпистемологии вообще. Курту Геделю принадлежат и другие значимые результаты, которые позволяют считать его одним из самых выдающихся логиков за всю историю человечества. Между тем значительная часть его жизни прошла в философских размышлениях о природе мышления и рациональности, которые оставались практически неизвестными широкой публике до публикации его записных книжек.

В данной статье мы хотим привлечь внимание к менее известной стороне творчества Геделя, а именно: к его философским размышлениям. Прежде всего представляет интерес философская «классификация» Геделя, то есть его философские предпочтения, в отношении которых есть весьма много распространенных заблуждений. Собственно философская позиция Геделя демонстрируется на весьма показательном примере проблемы, им поставленной, а именно проблемы существования абсолютно неразрешимых утверждений. Поиск Геделем знания, которое бы обладало характеристикой математической определенности, был сопряжен с самыми фундаментальными философскими вопросами о соотношении материи и сознания, а также о пределах человеческого мышления. В отношении возможностей человеческого познания Гедель придерживался позиции, названной «рационалистическим оптимизмом», весьма близкой к философии Лейбница.

Описание итогов его размышлений связано с рядом значительных трудностей в источниковедческом смысле. Будучи человеком эксцентричным и замкнутым, Гедель доверял свои мысли немногим близким друзьям, среди которых был и А. Эйнштейн. Но только один из этих друзей, известный математик и логик Хао Ван, оставил достаточно много записей разговоров с Геделем вместе со своими комментариями. По некоторым свидетельствам, оба ощущали себя аутсайдерами в философском сообществе, что стало, видимо, одной из причин доверительных философских дискуссий между двумя склонными к философствованию математиками.

 Хао Ван опубликовал несколько книг, посвященных философии Геделя, которые являются важнейшим источником сведений об идеях и концепциях Геделя. Другим важным источником сведений о философии Геделя является видный математик Георг Крайзель, который долгое время был в дружеских отношениях с ним и написал его биографию. Огромную работу по расшифровке записных книжек Геделя, а также по комментированию их выполнили видные математики Соломон Феферман, Джордж Булос, историк математики Дж. Доусон и многие другие, под редакцией которых за последний десяток лет вышли пять томов ранее не опубликованных рукописей и лекций Геделя. В них размышления Геделя часто выражены в афористической форме или в виде парадоксальных суждений. Это создает значительные трудности при анализе тех проблем, которые обсуждал Гедель и которые он не развил в систематическом виде. Естественно, что существуют различные интерпретации его идей, в зависимости от философских позиций интерпретаторов.

Примером такой ситуации, которой будет уделено особое внимание в данной статье, является одна из парадоксальных идей Геделя. Даже Г. Крайзель, понимание рассуждений которого о методологии математики практически всегда требует значительных усилий, характеризует одну из таких идей как «закрученную»: «Однажды в разговоре Гедель привел одну из своих любимых закрученных формулировок: “Либо наш разум не является механическим, либо математика, даже арифметика, не является нашей собственной конструкцией”» [Крайзель 2003, 125]. Отметим, что именно эта «закрученная формулировка» стала предметом обширной полемики о соотношении ума и компьютера в последние полтора десятка лет, особенно в связи с интерпретацией теорем о неполноте Геделя видным физиком Р. Пенроузом [Пенроуз 2003].

В философских предпочтениях Геделя особо выделяются несколько мыслителей. Прежде всего это Лейбниц, идеи которого оказались созвучными соображениям Геделя о метафизике. В ряде пассажей из книг Хао Вана утверждается, что Гедель полагал монадологию Лейбница абсолютно адекватной для понимания мира. Кроме того, идеи Лейбница об универсальном исчислении и важности аксиоматического метода сильно повлияли на Геделя. Еще более интересна приверженность Геделя идее Лейбница о лучшем из возможных миров, она напрямую связана с его «рационалистическим оптимизмом».

Другим философом, работы которого тщательно читал Гедель, был Кант. Для Геделя была чрезвычайно важной идея чистого размышления, каковым является математическое мышление. Знаменитый вопрос Канта «Как возможна чистая математика?», — по выражению Б. Рассела, должен волновать каждого философа. По ироничному замечанию Я. Хакинга, «Рассел преувеличивал. Многие философы, не принадлежавшие скептическому направлению, не проявляли интереса к кантовскому вопросу. Он никогда не приходил им в голову, и уж тем более, не казался им важным» [Хакинг 2000, 83].

Гедель, в противоположность им, был истовым исследователем этого вопроса, и практически вся его философская активность была направлена на поиски ответа на этот вопрос. Субъективизм Канта отвергался Геделем, который не считал концепцию объективного бытия абстрактных объектов бессмысленной или противоречивой. Так, в статье «Что такое континуум-гипотеза Кантора» он делает критическое замечание в адрес кантианского понимания абстрактных объектов математики: «Очевидно, что “данное” в математике близко соотносится с абстрактными элементами, содержащимися в наших эмпирических идеях. Из этого никоим образом не следует, что данные этого второго рода, из-за того что они не могут быть ассоциированы с действиями определенных вещей на наши органы чувств, являются чисто субъективными, как утверждал Кант. Скорее они тоже могут представлять объективную реальность, но в противоположность чувственным данным, их присутствие в нас обязано другому роду отношений между нами и реальностью» [Гедель 2007^б, 484].

Стремление Геделя к объективизму явилось частью его рационалистического оптимизма, веры в мощь человеческого ума. Одновременно это стремление явилось причиной того, что в последние годы его внимание привлек Гуссерль, который, как полагал Гедель, пошел дальше, чем Кант. Так называемая Первая философия, согласно Гуссерлю, должна состоять в постижении посредством интроспективной интуиции трансцендентальной структуры сознания. Для Геделя понятие математической интуиции было важнейшим понятием при обсуждении познаваемости математической реальности. Феноменология ставит вопрос о природе истинности аксиом, что занимало Геделя в сильнейшей степени. Его знаменитое утверждение, что математическая интуиция играет точно такую же роль в математическом познании, как чувственное ощущение в познании физических объектов, считается признаком принадлежности Геделя к платонизму. Сам Гедель не был удовлетворен такой классификацией, и на самом деле тщательно искал в феноменологии обоснование интуиции.

Фактически интерес Геделя к перечисленным выше философам определялся теми аспектами математического мышления, над которыми он размышлял в определенный период времени. Понятие «математической определенности» как воплощения рациональности было одним из основных предметов в обсуждении Геделем проблем математического познания и природы математической реальности. Рассмотрение философии Геделя, несмотря на апелляцию к указанным философам, тем не менее, часто привязано к проблемам, которые носят технический характер, и по этой причине значительно осложняет попытки «классификации» Геделя именно как философа. Учитывая, что, начиная с 1938 г., когда Гедель получил последний математический результат, его интеллектуальные усилия были связаны с философией, представляют большой интерес попытки систематического изложения представлений Геделя.

Философские взгляды Геделя зачастую трудно определить в силу путаницы, которую внесли те философы, которые писали о неопозитивизме. Тот факт, что Гедель одно время по рекомендации Ф. Вайсмана посещал Венский кружок, позволял им сделать вывод о близости Геделя к позитивистским взглядам. На самом деле такое представление очень далеко от действительности. Описание подлинной ситуации с Геделем в этом отношении дал известный философ математики П. Бенацерраф при обсуждении философского климата в Америке в 1950–1960-х гг.: «Была и другая местная фигура, игравшая центральную роль в философской драме того времени. Хрупкий по сравнению с огромным Черчем, прячущийся в тень человек, каким он был и в Вене (согласно Крайзелю, хотя Крайзелю в таких делах трудно верить на слово). Этот человек молчаливо слушал, мало говорил – только когда его вынуждали. И все-таки, в тени или вне ее, он занимал центральное место. Он почитался как бог, его имя не пачкалось в повседневной борьбе за реконструкцию философии. Но ортодоксы чувствовали при нем некоторое неудобство. Подобно Черчу, он не следовал ни за кем, и подобно Черчу, он вводил движение в замешательство, поскольку не был идеологически чист, и настаивал на взглядах, которые выглядели подозрительно метафизически, а ведь метафизика была приговорена к вымиранию.

Это был, конечно, Гедель. В менее терпимой группе любой из его грехов, – наиболее знаменито стремительное бегство от Программы Гильберта через подтачивание ее изнутри (даже если он и сражался стойко для ее продвижения?) – или проще, полнейший платонизм и контрреволюционные философские прокламации должны были бы привести к смещению не только с алтаря и к изгнанию из внутреннего круга, но и к исключению из партийного списка. То, что он оставался почитаемой фигурой, вопреки его подрывным взглядам и актам агрессии против нового порядка, является свидетельством исключительной терпимости его апостолов. Большая часть из них были святыми – кто может быть святым в большей степени, чем Карнап или Гемпель? Но даже святые не могут изгнать Бога с Небес. Так что приходится приспосабливаться, и они приспособились, хотя и неохотно» [Бенацерраф 1998, 38].

В силу присущего Геделю экстремального перфекционизма он опубликовал лишь две, ставшие классикой в философии математики статьи – «Расселовская математическая логика» [Гедель 2007^а] и «Что такое континуум-гипотеза Кантора?» [Гедель 2007^б]. Известно, что он писал статью «Является ли математика синтаксисом языка» к очередному тому Библиотеки живущих философов, посвященному Р. Карнапу, но так и не сумел сдать ее редактору в течение нескольких лет. В письме редактору серии Артуру Шильппу он дал следующее объяснение задержке, которое хорошо иллюстрирует его тщательность в представлении собственных взглядов: «На самом деле я закончил несколько различных версий, но ни одна из них не удовлетворила меня. Легко приписать моим взглядам очень веские и убедительные аргументы, но полное объяснение ситуации оказалось более трудным, чем я ожидал, что, без сомнения, является следствием того факта, что предмет близко соотносится, и частично тождествен основным проблемам философии, а именно вопросу об объективной реальности концепций и их отношений. С другой стороны, ввиду широко распространенных предрассудков, представляется, что публикация работы, сделанной наполовину, принесет больше вреда, чем пользы» [Гедель 2002, 224].

Как уже было отмечено в цитированном выше пассаже П. Бенацеррафа, Гедель искал метафизику, которая отрицалась Венским кружком. Сам Гедель не имел систематической философии; больше того, он полагал, что текущая философия находится в самом зачаточном состоянии, и писать в рамках принятых стандартов, видимо, он не желал. В частности, он отмечал, что философия должна сделать с метафизикой то, что Ньютон сделал с физикой своего времени.

Философским поискам Геделя особенно была созвучна философия Лейбница. Сам он охарактеризовал свои взгляды как «рационалистические, идеалистические, оптимистические и теологические» [Ван 1996, 8]. Это буквально повторяет то, что можно сказать о взглядах Лейбница. Лейбница и Геделя сближает многое. Начать с того, что Лейбниц хотел сконструировать символический язык, так чтобы философская аргументация была представлена исчислением. Для этой цели он приписывал так называемые «характеристические» числа примитивным концепциям. Но для этого нужно было иметь в распоряжении перечень всех таких концепций, чтобы перенумеровать их. Если рассматривать язык как исчисление символов, тогда значение символов усматривается из их структурных взаимоотношений, а не из их субстратных характеристик. Если последние несущественны, с символами можно обращаться механическим способом. В этом случае объект заменяется символом, и в некотором смысле символ представляет фикцию [Ташич 2001, 74]. Лейбниц полагает, что характеристические символы при этом как-то уже даны нам. Гедель решил эту проблему с помощью технического приема, который называется геделевской нумерацией. Геделевы числа становятся частью арифметики, и соответствующие вычисления позволяют говорить об утверждениях языка. Если мы представим себе перечень примитивных концепций и с помощью геделевой нумерации закодируем их, тогда вопрос об истинности любого утверждения языка может быть разрешен механической манипуляцией над символами, или же вычислением. Таким образом, идея Лейбница получила воплощение в работах Геделя. Видимо, такой метод работы Геделя усмотрел Г. Крайзель: «Гедель видел в своих первых успехах реализацию следующей, часто забываемой, но плодотворной общей схемы. Внимательно рассматривая подходящие традиционные философские концепции и вопросы, анализируя их, и возможно, добавляя чуть-чуть точности, мы безболезненно приходим к нужным понятиям, правильным гипотезам и достаточно простым доказательствам» [Крайзель 2003, 7]. В частности, Гедель полагал, что в метафизике существуют такие фундаментальные примитивные (ни к чему не сводимые) концепции, открытие которых будет подлинным прорывом в философии. Действительно, при сопоставлении философских подходов Гуссерля и Лейбница, Гедель замечает: «Феноменология не является единственным подходом. Другой подход состоит в нахождении перечня главных категорий (например, причинность, субстанция, действие) и их взаимоотношений, к которым, однако, нужно прийти феноменологически. Эта задача должна быть решена в правильной манере» [Ван 1996, 166].

В связи с вниманием Геделя к Лейбницу интересна его реконструкция онтологического аргумента о бытии Бога с помощью аксиоматического метода. Вряд ли сам Гедель полагал, что этим аргументом доказывается реальность Бога. Однажды на прямой вопрос, что Гедель хотел этим сказать, он улыбнулся и ответил, что аксиоматический метод является очень мощным инструментом [Бэрроу 1992, 124]. Вообще не следует усматривать в философских воззрениях Геделя полную упорядоченность взглядов. Хотя принято считать Геделя платонистом, особенно после его пассажа об аналогии между чувственным ощущением и математической интуицией, мы встречаемся с такими утверждениями: «Результат предшествующей дискуссии состоит в том, что наши аксиомы, если их интерпретировать как осмысленные утверждения, необходимо предполагают некоторый вид платонизма, который не может удовлетворить никакой критический ум» [Гедель 1995, 50].

Интересно и то, что рационализм как метод мышления, с точки зрения Геделя, не требовал никакой аргументации в его пользу. У него нельзя найти критического обсуждения понятия рационализма, и это при том, что рационализм был в центре всех его обсуждений. Есть свидетельства, что Гедель много размышлял над этими проблемами, но опять-таки в силу ряда психологических обстоятельств он не вступал в полемику с философами, предпочитая иметь свою версию Канта, Лейбница, Гуссерля. И если он отступал от этого правила, то это было связано с широтой его интересов. Так, в уже упомянутой выше статье «Расселовская математическая логика» Гедель «смог подвести итоги своего логического опыта, совершенно не впадая в самолюбование: работы Рассела затрагивали все вопросы, какие вообще могут прийти кому-нибудь в голову» [Крайзель 2003, 19].

Одна из причин подобного положения заключалась в том, что Гедель, вслед за Лейбницем, полагал идеалом философии математику, точнее, дедуктивный метод. В некоторых своих высказываниях он утверждает, что философия еще не развилась в достаточной степени, чтобы утверждать что-то с нужной определенностью. Он даже говорит более жестко о «недоразвитости философии на нынешнем этапе» [Гедель 1995, 311]. У самого Геделя, согласно Хао Вану, было определенное видение философского метода: «Фундаментальные идеи [Геделя] таковы: С помощью наблюдений мы можем открыть примитивные концепции метафизики и аксиомы, управляющие ими. С помощью аксиоматического метода мы можем прийти к точной теории метафизики, которая в своем лучшем виде представлялась Геделю чем-то вроде монадологии. Для эффективного поиска мы должны понять, что способны иметь только вероятностное знание. Мы должны научиться выбирать и концентрироваться на том, что фундаментально и существенно. Следовательно, для того чтобы сфокусироваться в процессе непрерывного внимания, мы должны стремиться к внезапному прозрению» [Ван 1996, 290].

Близость к методам математики очевидна. Действительно, для совершенствования философии требуется, чтобы она заимствовала математическую строгость. Обычно под последней понимают понятие доказательства. Между тем не менее важно то, что математика содержит некоторые исходные, или примитивные, понятия. Судя по всему, подобные исходные понятия Гедель искал в философии. Сведение системы рассуждений к примитивным понятиям со времени изобретения математической логики стало общим местом, особенно в аналитической философии. Геделя же, в отличие от аналитических философов, интересовали сами эти примитивные понятия, которые должны быть простыми. Точнее, он считал, что если аналитические философы и проявляли интерес к природе этих примитивных понятий, то они приписывали им явно неверные характеристики. Некоторые интерпретаторы философии Геделя заходят так далеко, что утверждают, что в сочинениях Лейбница он искал скрытые аксиомы, которые объяснят природу мира. Это вполне созвучно с его известной мыслью о том, что понимание природы чисел зависит от новых аксиом, которые еще предстоит открыть.

Но одновременно с математическими оказались важными и философские аргументы о соотношении человеческого мышления и машинного «мышления». Теоремы о неполноте Геделя оказались в центре философской полемики двух направлений, менталистов и механицистов: менталисты, в отличие от механицистов, предполагают принципиальное превосходство человеческого ума над машиной. Полемика подобного рода приобрела относительно большую известность с публикацией книг Р. Пенроуза, где программа ментализма приобрела довольно четкие очертания через апелляцию к теоремам о неполноте [Целищев 2004]. Шквал критики со стороны математиков-механицистов в адрес Пенроуза с обвинениями в недостаточном знании им математической логики иссяк, когда после публикации материалов Геделя тот оказался менталистом. Как сухо выразился один из свидетелей, многие критики ментализма, не желая оспаривать авторитет Геделя, «тихо отошли в сторону». Материал, о котором идет речь, содержался в ныне знаменитой лекции, прочитанной Геделем в 1951 г. в университете Браун — из серии лекций в честь математика Дж. У. Гиббса. Лекция не была опубликована при жизни Геделя, хотя он и намеревался это сделать. Впоследствии она вошла в третий том его собрания работ, извлеченных из записных книжек [Гедель 1995]. Публикация этой лекции, которая называется ради краткости Гиббсовской лекцией Геделя, стала важным событием в философии математики. В ней Гедель предложил интригующую дилемму (её формулировка Г. Крайзелем была приведена выше), которая, с его точки зрения, следует из его же второй теоремы о неполноте: «Либо математика незавершаема в этом смысле, а ее очевидные аксиомы никогда не могут быть проявлением конечного правила, то есть человеческий ум (даже в пределах чистой математики) бесконечно превосходит возможности любой конечной машины, или же существуют абсолютно неразрешимые диофантовы утверждения отмеченного типа» [Гедель 1995, 310]. (Известно, что любое вычисление может быть закодировано как полиномиальное. Другими словами, для каждой машины Тьюринга существует эквивалентное диофантово уравнение, и свойства решения этого уравнения в точности отражают вычислительные возможности соответствующей машины Тьюринга. Таким образом, формальные системы и диофантовы уравнения на абстрактном уровне идентичны. Именно это объясняет, почему Гедель говорит об абсолютно неразрешимых диофантовых уравнениях. В этом смысле можно просто говорить о неразрешимых проблемах.)

Происхождение этой поразительной дилеммы коренится в ряде предположений Геделя о природе математического знания, да и не только математического, поскольку речь идет о природе человеческого знания вообще. В значительной степени сама по себе дилемма связана с вопросом о соотношении человеческого ума и машины и может быть интерпретирована в качестве поддержки позиции ментализма против механицизма. Именно при разработке этой проблемы Гедель четко выразил свой «рационалистический оптимизм».

Дизъюнкция Геделя воспринимается им самим как математически установленный факт, который имеет важные философские следствия. Больше того, сам Гедель считает ее переформулировкой его теорем о неполноте. В самом деле, можно рассуждать так.  Представим дизъюнкцию в другой форме: аксиомы математики схвачены конечным  правилом, и не существует абсолютно неразрешимых утверждений. Тогда предположение принимает следующий вид: человеческий ум есть машина Тьюринга, и не существует абсолютно неразрешимых утверждений. Но это утверждение ложно, потому что, согласно теоремам о неполноте, для каждой машины Тьюринга есть абсолютно неразрешимое предложение. Признание ложности предыдущего утверждения и представляет дизъюнкцию Геделя: человеческий ум превосходит или нет машину. Характер дизъюнкции как установленного математического факта состоит в том, что нельзя отрицать оба члена дизъюнкции.

Но здесь есть неявное предположение, что это исключающая дизъюнкция, то есть истинным может быть только один ее член. Сам Гедель, судя  по всему, придерживался именно такой точки зрения, и явно отдавал предпочтение менталистской точке зрения, а именно, что ум превосходит конечную машину. Однако возможна и такая интерпретация «установленного математического факта», на которую обратили внимание некоторые исследователи, а именно:, когда оба члена дизъюнкции истинны [Феферман 2006; Тизен 2006].   Каковы они? 1) Человеческий ум есть конечная машина, и для него существуют абсолютно неразрешимые математические утверждения. 2) Человеческий ум бесконечно превосходит конечную машину, и существуют абсолютно неразрешимые математические утверждения. 3) Человеческий ум бесконечно превосходит конечную машину, и не существует абсолютно неразрешимых математических утверждений. Из ранее сказанного следует, что Гедель как менталист предпочитал последнее утверждение, что подтверждается другими его заметками.

Сама по себе формулировка дилеммы обязана в первую очередь понятию незавершаемости математики. Существование неразрешимого утверждения для любой формальной системы позволяет построить новую формальную систему путем добавления к прежней истинного неразрешимого утверждения в качестве аксиомы. Действительно, теорема Геделя о неполноте (первая) является конструктивной по своему характеру. Если формальная система Ф, содержащая арифметику, w-непротиворечива, тогда можно эффективно найти предложение G такое, что ни G, ни Ø G не являются теоремами Ф. Далее, если каждая арифметическая теорема Ф истинна, тогда истинно и G. Но в этом случае можно добавить G в качестве новой аксиомы к аксиомам Ф, получая при этом новую систему Ф₁. Для этой новой системы опять-таки эффективно можно получить предложение G₁, и так далее. Таким образом, мы получаем расширение арифметики, и такое расширение с первого взгляда оказывается бесконечным. В этой связи Гедель говорит о «незавершаемости или неисчерпаемости математики». Вместо ограниченной арифметики мы получаем незавершаемую арифметику. Принципиальным в философском отношении является вопрос о том, может ли этот процесс незавершаемости математики осуществляться конечной машиной или же только человеком. Если это доступно только человеку, тогда он действительно превосходит по своим возможностям конечную машину.

Однако Дж. Булос полагал, что выводы Геделя никак не следуют из теорем о неполноте уже по той самой причине, что в этих выводах используются весьма неясные понятия типа «человеческий ум эквивалентен конечной машине» [Булос 1995]. Интуитивно при этом предполагается, что работа человеческого мозга успешно представляется машиной Тьюринга, однако не дается особых пояснений, что это за представление. В частности, мы должны понимать, как машина конструирует математические доказательства, обозначая при этом параллели с доказательствами, производимыми человеком. Пока же мы можем только фиксировать тот факт, что машина все-таки доказывает их. Предположение о существовании абсолютно неразрешимых математических утверждений означает существование истин, которые в принципе недоступны человеческому познанию. Это ведет к различению Геделем объективной и субъективной, или же «человеческой» математики.

Реконструкция геделевской мысли представляет собой зачастую довольно трудную задачу. Чтобы почувствовать своеобразие философской аргументации Геделя, имеет смысл привести довольно большой пассаж из его Гиббсовской лекции относительно следствий теорем о неполноте:

«Незавершенность математики следует из второй теоремы. Потому что невозможно для кого-либо установление определенной системы аксиом и правил, и в то же время непротиворечивое утверждение такого типа: все эти аксиомы и правила, которые я воспринимаю, должны быть правильными, и больше того, я верю, что они содержат всю математику. Если некто делает такое утверждение, он противоречит самому себе. {Сноска Геделя: Если человек говорит «Я верю, что способен воспринимать аксиомы одну за другой как истинные (где число их бесконечно)», он не противоречит сам себе}. Потому что если он воспринимает аксиомы как истинные, он также воспринимает их (с той же определенностью) как непротиворечивые. Отсюда, он имеет математическое прозрение, не выводимое из его аксиом. Однако следует быть осторожным, для того чтобы понять значение этого состояния дел. Означает ли это, что никакая вполне-определенная система правильных аксиом не может содержать всей математики? Это так и будет, если под математикой понимать систему всех истинных математических утверждений; это будет не так, если под математикой понимать систему всех доказуемых утверждений. Я буду различать два этих значения математики как объективное и как субъективное. Очевидно, что никакая вполне-определенная система правильных аксиом не может вместить в себя всю объективную математику, так как предложение, которое устанавливает непротиворечивость системы, истинно, но не доказуемо в системе. Однако, что касается субъективной математики, вовсе не возбраняется, что должно существовать конечное правило, которое производит все очевидные аксиомы. Однако если такое правило существует, мы с нашим человеческим пониманием никогда не смогли бы узнать, что оно таково, то есть мы могли бы не узнать с математической определенностью, что все производимые предложения правильны. {Сноска Геделя: Потому что это составляло бы математическое прозрение, не выводимое из аксиом и правил, в противоречии с предположением}, или же, другими словами, мы могли бы воспринимать истинным только одно предложение за другим, для любого конечного числа их. Однако утверждение, что все они истинны, могло бы быть известно самое большее с эмпирической определенностью, на основании достаточного числа примеров или же путем индуктивного заключения. Если это было бы так, тогда это означало бы, что человеческий ум (в области чистой математики) эквивалентен конечной машине, которая, однако, не способна понять полностью свое функционирование. {Сноска Геделя: Конечно, физическая работа мыслящего механизма могла бы быть хорошо понята; прозрение, однако, что этот конкретный механизм должен всегда вести к правильным (или только непротиворечивым) результатам, должно превышать силу человеческого разума}» [Гедель 1995, 309].

Н. Салмон так комментирует этот весьма трудный пассаж Геделя: «Этот аргумент сводится к следующему. Предположим, что человеческая способность к восприятию доказательства есть эффективно описываемый феномен, подобно детерминированной работе машины Тьюринга, так что сам процесс, посредством которого ум постигает, или может постичь, чисто математическое знание с математической определенностью, полностью схвачен некоторым конечным эффективным правилом (даже если оно очень длинное). Следствием второй теоремы о неполноте является то, что ум не может знать с математической определенностью, что это правило порождает только правильные результаты, или даже то, что эти результаты являются внутренне непротиворечивыми. Потому что если ум может знать с математической определенностью все утверждения чистой математики, это позволит ему доказать истинность всех из них, тогда он может знать с математической определенностью, что они формально непротиворечивы – а именно это запрещено теоремой. Поскольку непротиворечивость системы теорем может быть выражена как чисто математическое предложение, отсюда следует, что если ум, в своей доказывающей теоремы способности, есть конечная машина, тогда имеются чисто математические истины, которые он не может знать с математической определенностью; в частности, он не может доказать своей собственной непротиворечивости, и отсюда, не может полностью понять своего собственного функционирования» [Салмон 2001, 96].

Сам Гедель, во вполне менталистском духе, предположил, что человек имеет способность разрешать вопрос о том, является ли некоторое предложение арифметической истиной, и в таком случае не существует абсолютно неразрешимых арифметических предложений (и поэтому механизм ложен): «Человеческий разум не является полностью иррациональным, задавая вопросы, на которые нет ответа, предполагая при этом, что только разум готов дать их <…> те части математики, которые систематически и полностью развиты <…> показывают удивительную степень красоты и совершенства. В этих областях, с помощью законов и процедур, о которых даже не подозревали, обеспечивается не только решение всех соответствующих проблем, но также и решение их наиболее красивым и совершенным образом. Этот факт может быть назван “рационалистическим оптимизмом”» [Ван 1974, 324–326].

Встает вопрос, не слишком ли оптимистичен Гедель в данном случае. Его известная дилемма утверждает, что либо все математические истины не могут быть порождены машиной, и человек превосходит машину в этом отношении, либо существуют абсолютно неразрешимые математические утверждения. Дилемма состоит в том, что либо механистический взгляд ложен, либо оптимизм Геделя неоправдан. Однако дилемма Геделя не исчерпывает все мыслимые ситуации. Так, Дж. Булос рассматривает случай, когда могут существовать такие математические утверждения, для которых не может быть дано доказательство, которое было бы постижимо для человеческого ума [Булос 1995]. В этом смысле опять-таки рационалистический оптимизм Геделя может быть неоправдан. Именно для спасения своего оптимизма Геделю приходится различать «человеческую» и объективную математику.

В то время как вопрос о соотношении объективной и субъективной математики затрагивает технические детали, на которых мы не останавливаемся здесь, объективизм в философии Геделя увязан с его более общими представлениями, частью которых является его рационалистический оптимизм. Объективизм как философский взгляд присущ Геделю, с одной стороны, в связи с техническим вопросом о превосходстве ума над машиной, а с другой стороны, совпадает с его основными целями в философии. В данном вопросе нельзя игнорировать две установки Геделя: его мистицизм и склонность к идеализму. Объективизм платонистского толка в философии математики он переносил на всю философию, и именно это было причиной того, что в философии он придавал огромное значение математике. Объективная математическая истина доступна математической интуиции человека точно так же, как доступны его чувственному восприятию физические объекты. Этот знаменитый параллелизм позволял большинству философов зачислять Геделя в эпистемологические платонисты. Однако философская мысль Геделя двигалась довольно своеобразно и не может быть схвачена каким-то одним ярлыком.

Дело в том, что для Геделя основным был вопрос, может ли человеческий ум обрести ту способность, которая связана с понятием математической определенности. Знание, с его точки зрения, есть знание с математической определенностью, и именно эта особенность характеризует априорное знание, знание, полученное чистым разумом. Именно такому знанию Гедель придавал основополагающее значение. Познание с математической определенностью математических утверждений, которые получаются выводом из других математических утверждений, познанных таким же образом, не представляет особых проблем. Но познание исходных утверждений с математической определенностью должно быть по своему характеру особым: согласно долгой традиции в математике, аксиомы должны быть очевидными. Очевидность зиждется на интуитивной ясности или на возможности непосредственного «схватывания» истины.

Таким образом, в центре внимания у Геделя оказывается эпистемический статус аксиом. В собственно математике аксиомы не имеют какого-то выделенного статуса очевидных истин, поскольку аксиоматизация носит скорее систематизирующий, нежели эпистемический характер. Исключением являются аксиомы теории множеств, которые часто имеют эвристический характер и всегда обладают экзистенциальным статусом. Не случайно, что Гедель, погруженный в поиск новых аксиом теории множеств, которые сделали теорию более интуитивной и постигаемой, поднял в последние годы вопрос об эпистемическом статусе именно аксиом. Отметим только, что Гедель в этот период активно изучал феноменологию Гуссерля, пытаясь, видимо, найти очищенную сущность интуитивного схватывания истины.

Тесное переплетение математических и философских мотивов в рассуждениях Геделя приводит его к интересному выводу. Если мы достигнем достаточной ясности в философии математики, тогда философские выводы приобретут статус математически определенных утверждений. Другими словами, философия математики должна стать частью самой математики, приобретая определенность, и в то же время теряя характер собственно философский. Трудно представить себе, каким образом философская аргументация с ее относительной свободой и неопределенностью может быть математически определенной, как, например, доказательство. Само по себе это направление мысли Геделя является оправданным, и аналитическая философия преследует именно эту цель. Другое дело, в какой мере это предприятие вообще осуществимо. Стремление к его реализации может идти в двух направлениях. С одной стороны, это попытка достичь окончательной ясности в мышлении, как это пытаются сделать феноменологи, и с другой стороны, все более полная формализация философского дискурса, с тем чтобы она удовлетворяла критериям математической строгости. При этом важнейшим вопросом остается природа этой строгости, и именно математической стороне этого вопроса Гедель придавал огромное значение. В этой связи важно, что дизъюнкция Геделя воспринимается им самим как математически установленный факт, который имеет важные философские следствия. Больше того, сам Гедель считает ее переформулировкой его теорем о неполноте.

Как видно, утверждение дилеммы Геделя, которое он считал математически определенным фактом, включает в себя множество предпосылок, которые носят откровенно философский характер. Погружение Геделя в философию, как видно, не является «чудачеством профессора» или же хобби почитывающего философские опусы образованного человека. Точно так же его рационалистический оптимизм мало похож на оптимизм сайентистского толка или же оптимизм политических утопистов. Философия в Геделе находит истового сторонника глубоких размышлений над «вечными» проблемами. В отличие от скептиков, Гедель верит в возможность рационалистического решения этих проблем. То обстоятельство, что в качестве средства он избрал математику, конечно же, придает его пути еще большую сложность, поскольку достижение математической точности в философии многие считают уже не оптимизмом, а утопией. И тем не менее он считал такой путь вполне оправданным. «Сильная заинтересованность Геделя в объективизме в математике, с одной стороны, и в превосходстве ума над материей, с другой, тесно связаны с его главной целью в философии. Превосходство ума, несомненно, важно для его онтологического идеализма, в соответствии с которым ум предшествует материи. Главное приложение его рекомендаций <...> это его собственное обобщение от объективизма в математике к объективизму в философии. Это, по моему мнению, была причина, по которой он придавал столь большое значение философии математики в развитии философии. Подобно большинству нынешних философов, однако я не способен оценить правдоподобность этой экстраполяции» [Ван 1996, 288].

В какой мере настояние Геделя на объективизме в математике повлияло на получение им впечатляющих математических открытий – вопрос открытый, хотя многие видят тут прямую зависимость. Что касается экстраполяции от математики к философии, то тут лишь немногие философы могут последовать за Геделем. Дело в том, что философский идеализм Геделя психологически связан с его откровенным мистицизмом, который не является непременным ингредиентом рационального мышления. Хотя мистицизм Геделя проявлялся в его философских взглядах, но сам по себе он выражался им и в более простых терминах. В этом отношении весьма характерно признание Р. Рукера, математика и писателя, который среди немногих имел шанс поговорить с Геделем. «Я спросил Геделя, верит ли он, что за всеми различными явлениями и действиями в     мире стоит единый Ум. Он ответил утвердительно, и что Ум структурирован, но при этом Ум существует независимо от индивидуальных свойств. Тогда я спросил, верит ли он, что Ум находится везде, в противоположность тому, что локализуется в мозгах людей. Гедель ответил: “Конечно. Это основа мистического учения”» [Рукер 1983, 183]. Возможно, что не стоит обращать внимание в философии Геделя на мрачную сторону мистицизма. Видный логик Раймонд Смаллиан, много делающий для популяризации математических достижений Геделя, в одной из своих книг о восточной философии описывает беседу, в которой принимают участие «логический позитивист» и «мистик» [Смаллиан 2012]. В ней мистик употребляет замечательную фразу «когда время созреет». В этом духе можно предположить, что Гедель мог рассчитывать как рационалистический оптимист на то, что «однажды, но никак не ранее, время придет», когда не будет опасений перед абсолютно неразрешимыми проблемами.

Рационалистический оптимизм Геделя, очевидно, перекликается с оптимизмом величайшего математика Давида Гильберта. Его знаменитое «Мы должны знать – мы будем знать!» и убеждение, что «в математике нет непознаваемого», являются лозунгом, который, как считается, был подорван именно теоремами Геделя о неполноте. Некоторые критики Гильберта заходят так далеко, что утверждают, что «именно чрезмерный оптимизм Гильберта побудил Геделя доказывать существование (неразрешимых предложений)» [Арнольд 1999].

Нет никаких свидетельств, что именно разочарование в оптимизме Гильберта послужило Геделю поводом для поисков неразрешимости, что подтверждается попыткой еще в 1926 г. Пауля Финслера построить неразрешимое утверждение, да и опасением самого Геделя (по свидетельству Крайзеля), что не пройдет нескольких месяцев, как кто-нибудь нападет на эту идею, которая буквально носилась в воздухе. Напротив, вся его математическая и философская работа была проникнута гильбертовским оптимизмом, и только по иронии судьбы он стал именно тем человеком, с которым связывают необоснованность такого оптимизма.

            Что нам следует думать о рационалистическом оптимизме Геделя? Пожалуй, тут наиболее уместно считать такой оптимизм проявлением нормативной деятельности в науке. Действительно, «оптимизм Гильберта <...> от которого не хотел отказаться Гедель, может рассматриваться как регулятивный идеал в кантианском или гуссерлианском смысле. Идеал разрешимости регулирует наше научное мышление <...> является постулатом разума <...> мы могли бы сказать, что именно осознание этого идеала позволяет нам понять, что мы не достигли цели, и что наше знание неполно» [Тизен 2006, 251–252].

Поиски Геделем знания с математической определенностью представляют собой попытку добраться до истоков нашей способности к априорному знанию. До сих пор споры о природе математического знания удивляют нас не только «непостижимой эффективностью математики в естественных науках», но и живучестью тех философских проблем, которые поставил еще Платон. Рожденные практически одновременно античными гениями дедуктивная математика и философия до сих пор демонстрируют в лице Геделя свою поразительную взаимосвязь.

Литература

Арнольд 1999 –  Арнольд В.И. Русское издание сочинений Давида Гильберта // Природа. 1999. № 4.

Бенацерраф 1998 – Benacerraf P. What Mathematical Truth Could not Be / The Philosophy of Mathematics Today. ed. Schirn M. Oxford, 1998.

Булос 1995 – Boolos G. Introductory Note to Gödel’s Collected Works III. Oxford, 1995.

Бэрроу 1992 – Barrow J. Pi in the Sky. Oxford, 1992.

Ван 1974 – Wang Hao. From Mathematics to Philosophy. L., 1974.

Ван 1996 – Wang Hao. A Logical Journey: From Gödel to Philosophy. Cambridge, 1996.

Гедель 2007^а – Гедель К. Расселовская математическая логика / Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 2007.

Гедель 2007^б – Gödel K. What is Cantor’s Continuum Problem / Philosophy of Mathematics. Eds. Benacerraf P., Putnam H. Cambridge, 2007.

Гедель 1995 – Gödel K. Collected Works. V. III. Unpublished Essays and Lectures. Ed. S. Feferman . NY, Oxford, 1995.

Гедель 2002 – Gödel K. Collected Works V: Correspondence H-Z. Ed. S. Feferman  Oxford, 2002.

Крайзель 2003 – Крайзель Г. Биография Курта Геделя. М., 2003.

Пенроуз 2003 – Пенроуз Р. Тени разума. М., 2003.

Рукер 1983 – Rucker R. Infinity and the Mind. NY, 1983.

Салмон 2001 – Salmon N. The Limits of Human Mathematics // Philosophical Perspectives. Vol. 15. Metaphysics. 2001.

Смаллиан 2012 – Смаллиан Р. Молчаливое Дао. М., 2012.

Ташич 2001 – Tasic V. Mathematics and the Roots of Postmodern Thought. Oxford, 2001.

Тизен 2006 – Tieszen R. After Gödel: Mechanism, Reason, and Realism in the Philosophy of Mathematics // Philosophia Mathematica. Vol. 14, n. 2. 2006.

Феферман 2006 – Feferman S. Are There Absolutely Unsolvable Problems? Gödel’s Dichotomy // Philosophia Mathematica. Vol. 14, n. 2. 2006.

Хакинг 2000 – Hacking I. What Mathematics Has Done to Some and Only Some Philosophers             / Mathematics and Necessity. Ed. T. Smiley Oxford, 2000.

Целищев 2004 – Целищев В.В. Алгоритмизация мышления: Геделевский аргумент. Новосибирск, 2004.

Эко 2007 – Эко У. Поиски совершенного языка в европейской культуре. М., 2007.