В.А. УСПЕНСКИЙ. Апология математики (сборник статей). СПб.: Амфора, 2009, 554 с. (Серия  «Новая Эврика»).

Книга известного математика представляет  собой попытку введения читателя-гуманитария в круг  основных методологических и логических проблем  этой области знания.

Все тексты данной книги в той или иной мере примыкают к не имеющей четких границ  области исследования, которую одни называют философией математики, другие - ее основаниями, третьи - методологией, а четвертые - просто популяризацией математики.  Своим читателем автор видел прежде всего гуманитария, пытаясь разрешить поставленную им задачу если не окончательного разрушения барьера между математическим и гуманитарным, то хотя бы нахождения в нем брешей, которые способствовали бы этому в дальнейшем.  В то же время важно иметь  в виду, что граница уже давно проходит не между  математикой и, скажем, психологией и филологией или какой либо иной гуманитарной дисциплиной, а внутри каждой из них.

Автор интригует читателя тем, что расскажет обо всех перипетиях открытия неевклидовой  геометрии и решения великой теоремы Ферма, которое обессмыслило существование доселе неистребимого племени «ферматистов», хотя многие из них об этом еще не ведают. Показывает суть  гипотезы Пуанкаре, с которой справился питерский математик Григорий Перельман. Обсуждает тот удивительный факт, что сколь бы абстрактным и далеким от практических задач ни были усилия математиков, выдумывающих все более и более чисто математические и «никчемные» задачки и проблемы, но рано или поздно все они оказываются востребованными естествознанием, чудесным образом  пригождаются для решения  все усложняющихся проблем познания, в том числе и в гуманитарных областях. Свою задачу В.А. Успенский видит в том, чтобы как можно больше людей и прежде всего гуманитариев обратились к математическим методам и методикам, которые значительно повысят их кпд.

При перечислении качеств, которыми математика наделяет каждого, кто ею занимается, автор выделяет следующие характеристики: умение упорядочивать знания (приверженность к порядку, последовательность), технику отличения истины от лжи (логичность), дар различения и отделения  понятного от непонятного (интерпретативность, которая существует понимая) и мастерство распознавания, производства смысла в окружении бессмыслицы (семиотичность). Т.е. он предлагает  четырехмерное, в нашей терминологии тетрадическое  (см. нашу работу «История философии. Полнота тетрады» М., 2008), представление о специфических особенностях математического ума: семиотичность (логичность-интерпретативность), последовательность.

Книга носит название «Апология математики». Этот заголовок есть калька с названия работы Макса Блока «Апология истории, или Ремесло историка» (1941,1942). Это была защитительная речь в пользу истории, поскольку Блок выступил в защиту исторического разума перед лицом хулителей истории. В частности, против обвинений Поля Валери, считавшего историю прислужницей политики, источником шовинизма и национализма. Казалось бы, в области математики вопрос не стоит столь остро. Но, считает автор, в сухом остатке имеет место тот прискорбный факт, что математика, несмотря на то, что ее разделы непременно должны входить в общеобязательную часть духовной культуры, как была, так и осталась terra incognita для населения и гуманитариев в том числе, что не может не сказываться на эффективности исследований. Поэтому свою апологию математики он, вслед за своим учителем А.Н. Колмогоровым, понимает как борьбу за существенное увеличение объема и глубины современного общекультурного математического минимума (см. с. 103), как демонстрацию методологической и мировоззренческой основательности и эффективности математики.

Как вариант боязни математики, автор приводит принадлежащий Г.Б.Шабату замечательный термин плюриагарофобия  - боязнь многомерного пространства. Фобии такого рода - это тревога или иррациональный страх, проявляющийся в виде боязни разных объектов - в данном случае непривычного, не встречающегося в обыденной жизни и просто невообразимого явления. Согласно социобиологии Эдварда Уилсона, фобии - след нашей генетической эволюции: «на ранних этапах развития человеческие фобии расширяли возможности выживания человека». Однако плюриагарофобия не только естественная установка обыденного здравого смысла, имеющего дело с  трехмерными объектами реального мира, но и сформировавшаяся культурная парадигма, плод образовательного научения, не закладывающего необходимых основ для более широкого и абстрактного толкования мерности пространства, начиная, например, с логического квадрата, четырех квадрантов Декартовых координат и т.д. В результате фобия принимает иногда навязчивый характер, вынуждая людей застревать, «зацикливаться» на своем страхе. Триадический метод коренится в глубоких архетипах культурного сознания, был самым распространенным способом структурирования мысли в космологических, религиозных, композиционных, риторических и логических схемах.

В этих условиях В.А. Успенский выступает в роли своеобразного рационально-эмотивного терапевта, сообщающего гуманитариям о пробелах в их мышлении и демонстрирующего различные подходы к осмыслению четырехмерности. Минуя нульмерный мир ничто, он демонстрирует удивительную одностороннюю поверхность листа Мёбиуса, ограниченную лишь одной замкнутой линией. Так, если перемещать изображение ладони по плоскости или по сфере, то, как бы  мы его ни двигали, оно никогда не превратится в свое зеркальное отражение, поскольку эти две поверхности ориентируемы. А по листу Мёбиуса можно так переместить силуэт ладони, что он вернется на прежнее место зеркально отраженным, что означает неориентируемость его поверхности.

Если параболическая геометрия Евклида является пространством нулевой кривизны, то гиперболическая геометрия Лобачевского является первой более общей теорией, которая включает геометрию Евклида как предельный случай. И автор демонстрирует нам, по каким кругам  ада познания должен был пройти исследователь, позволивший себе усомниться в общепринятых положениях, даже если они касаются только геометрии.

После оглашения личная судьба смельчака решается специалистами, которые также должны одолеть четыре ступени - ознакомительный анализ, проверка решения, его оценка и оглашение результатов экспертизы: анализ/проверка-оценка/оглашение. «Король математики» Карл Фридрих Гаусс дал высокую оценку работам Лобачевского и Бойяи, но не нашел в себе мужества довести ее до всеобщего сведения.  Дело в том, что он пришел к мысли о возможности построения неевклидовой геометрии еще в 1818 г., но из опасения, что эти идеи не будут поняты, не разрабатывал их далее. Он категорически запрещал публиковать их и тем, кого  посвящал в свои взгляды, поскольку, как он признавался в частном письме, «я боюсь крика беотийцев, который подымется, если я выскажу свои воззрения целиком» (с.50). А ученика-астронома, намеревающегося публично признать ложность евклидовой геометрии, он еще до этого предостерегал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых вы потревожите, полетят вам на голову».

И тогда возникает крамольная мысль. Если даже в середине уже просвещенного ХIX в. самый авторитетный математик не мог позволить себе прилюдно усомниться в такой малости, как постулат о параллельных, то каковы же были общественные ограничения свободы мысли во времена Канта, в XVIII в., да еще по проблемам, напрямую касавшимся самых злободневных вопросов и на какие ухищрения он вынужден был пойти, чтобы сделать достоянием гласности основные результаты своих исследований и не попасть под подозрение общества и властей?

Взгляды Канта, знатока современного ему естествознания, автора революционной космогонической гипотезы, делающей следующий шаг вслед за учением Коперника, не могли столь же радикально не отличаться от устоявшихся мнений. И поэтому перед ним остро стояла проблема не столько отчетливого представления тонкостей своего нового подхода к человеческому познанию, сколько нахождения безопасных способов изложения своих взглядов, поскольку его не прельщала судьба всех беззаветных первопроходцев. Он слишком хорошо знал, к чему привело Сократа неуважение к местным богам.

И нам представляется, что в «Критике чистого разума» он благодаря антиномическому представлению проблем изобретает весьма изощренный способ изложения своих взглядов не в форме последовательного представления единственно верных тезисов, а маскирует их в виде одного из двух возможных да к тому же антиномических вариантов. Конечно, при этом возникала другая опасность - в силу чрезмерных конспирологических усилий оказаться непонятым читателями. Однако он надеялся, что sapienti sat (для понимающих достаточно), что если не современники, то уж потомки-то сумеют отделить зерно от плевел.

Научно-популярная работа - это текст, стремящийся  пояснить те или иные понятия или принципы науки, иногда очень далекие от обыденной жизни, сухие и абстрактные. И в то же время она должна быть увлекательной, содержать некоторую интригу, удерживать внимание читателя. В этом В.А. Успенскому помогают биографические факты из жизни исследователей, околонаучные притчи и анекдоты. Но местами мера не всегда соблюдается, рвется ткань изложения, голова читателя идет кругом, выводя его из равновесия. Видимо, ощущая такое положение дел, автор в качестве последнего аргумента призывает на помощь имена и работы своих учителей, которые помещены в конце книги. Статьи Колмогорова и Рашевского, приведенные в Приложении, написаны уже в недоступном для нашего времени классическом стиле - ясно, четко, последовательно.

На пределе испытания терпения читателя автору все же удается подвести его к главе «От метрической геометрии к геометрии положения», где все вроде бы находится на своем месте.

В центре внимания автора книги оказывается проблема мерности, которую он пытается показать в разных аспектах и ракурсах, используя не только весь арсенал математики, но и прибегая к образам, почерпнутым из литературы. Это позволяет  модифицировать и систематизировать предшествующие подходы с точки зрения самого развитого и тем самым определить нынешний методологический «строй» науки. И как видим, он оказывается четырехмерным (тетрадическим), с позиций которого анализируются уже все предшествующие размерности, а по сути, пространства ментальности.

Отдельные примеры такого видения встречаются уже в Античности, особенно у Платона и Аристотеля, но верх одержали платоновские «три царя всего», которые были восприняты и христианством, что на века определило триадический строй мысли, несмотря на то, что еще во II в. н. э. Плотин, подводя итог почти тысячелетней истории философии Древней Греции и Рима, дал ее обобщенную тетрадическую формулу: единое/ум-душа/космос. Кант в «Критике чистого разума» не до конца отрефлексированно использует около десятка тетрадических схем, которые, тем не менее, интерпретирует в соответствии с триадическим строем мысли, который и на него действует подобно фильтру, регулируя его воображение при выборе допустимых конфигураций понятий и толкований.

И только русский либеральный философ Б.Н. Чичерин на излете XIX в. тематизирует проблему четырехмерности в оперативной категории «тетрада» с помощью оппозиции (дублета) тетрада - триада, хотя конкретная форма ее представления была далека от совершенства. Русский мыслитель, подобно фольклористам или антропологам, выявляющим в эпических преданиях глубинные тематические структуры и повторы, сумел тематизировать новый элемент в структуре научного дискурса. Опередив даже творца физической СТО, он первым продекларировал рождение нового четырехмерного строя ментальности.

 «Математика, - писал Кант, - дает пример чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без помощи опыта». Как бы подтверждением этого служит гипотеза Пуанкаре, сформулированная им более ста лет тому назад, которая звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Гипотеза - основная проблема топологии, имеющей дело уже с качественными характеристиками пространства, которые зачастую сложно даже вообразить. Так топологически двухмерную сферу можно себе представить как поверхность трехмерной планеты. Но что такое трехмерный шар в четырехмерном пространстве - такое вообразить уже сложно. А Пуанкаре был уверен, что трехмерная сфера - это единственное ограниченное трехмерное пространство без дыр. Причем самое большое трехмерное многообразие - наша Вселенная.

Пуанкаре исходил из того, что основные принципы и законы теории есть соглашения, единственным абсолютным условием которых является непротиворечивость. Поскольку мы руководствуемся ею, то произвольность выбора принципов ограничена с одной стороны потребностью нашей мысли в максимальной простоте теорий, а с другой - необходимостью их использования. В этих границах заключена известная свобода выбора, обусловленная относительным характером этих требований.

Честь математического решения гипотезы Пуанкаре принадлежит питерскому математику Григорию Яковлевичу Перельману. Он получил результаты, позволяющие деформировать риманову метрику на многообразии, но при этом образовывались сингулярности - точки, в которых кривизна стремится к бесконечности. Для борьбы с ними производят их классификацию в трехмерном ориентированном случае.  При подходе к сингулярности поток останавливают и осуществляют «хирургию» - выбрасывают малую связную компоненту, или вырезают «шею», полученные дырки заклеивают двумя шарами, после чего продолжают деформацию.

Решение, представленное миру, было конспективно кратким, но отличалось филигранной четкостью математических суждений и не имело прямых упоминаний гипотезы Пуанкаре. Оно было получено на основании ранних работ автора, посвященным топологии пространств академика акад. А.Д.Александрова - научного руководителя кандидатской диссертации Перельмана. В результате сформировалось взвешенное суждение о том, что Григорию Перельману действительно удалось решить проблему Пуанкаре, после чего она с полным правом может называться теоремой Пуанкаре-Перельмана.

Представляет интерес приведенная в Приложении II к книге статья П.К.Рашевского (1907-1983) «О догмате натурального ряда», опубликованная в «Успехах математических наук» (1973.Т.28. Вып. 4 (172).С. 243-246). В качестве эпиграфа автор привел слова немецкого математика XIX в. Леопольда Кронекера: «Целые числа создал Господь Бог, остальное - дело рук человеческих». Этот эпиграф требует небольшого комментария.

Если сторонник арифметизации математики, сведения ее к арифметике целых чисел понимал приведенные слова буквально, то он ошибался. Да, в Писании есть раздел «Числа», но там используется словесная запись чисел и отсутствует знак и число «нуль». Десять математических знаков: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, с помощью которых в десятичной системе счисления записываются любые числа, возникли в Индии не позднее 5 в.  А в Европе они стали известны лишь в 10-13 вв. по арабским сочинениям, почему и были названы арабскими цифрами. До этого времени нуль не был знаком европейцам и авторам Писания. И Бог не мог знать больше, чем знали в то время люди. Поэтому, перефразируя Л. Фейербаха, мы имеем полное основание сказать, что не Бог создал человека и числа (нуль в том числе), а человек создал Бога и числа.

Что касается сути слов Кронекера, то Рашевский видит их в том, что натуральный ряд - единственная математическая идеализация процессов реального счета и абсолютная власть натурального ряда предопределяет возможности физических теорий. Однако рассмотрение ряда физических опытов показывает, что математик предлагает физику не совсем то самое, что ему нужно. «Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы изменяет число - а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом?» (с.541).

Вырисовывается образ математической теории нового типа, в которой отказываются от идеи, что каждый член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц, а математическая индукция приняла бы своеобразные черты - промежуточные между обычной индукцией и интегрированием дифференциального уравнения. Т.е. в области космических протяженностей нас ждут сюрпризы не менее интересные, чем в области протяженностей очень малых, где классические геометрические представления были коренным образом скорректированы квантовой механикой.

Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания сколь угодно больших материальных совокупностей и сможем создать теорию, в которой идея «приближённости» будет заложена органически, где «точное» будет означать «оптимально приближенное», то не столь однозначными могут оказаться и результаты Гёделя. Можно было бы думать  и о новой трактовке дуализма «волна-частица» в квантовой механике после того, как точки пространства-времени утратят свою резкую определенность и приобретут чуть-чуть размытый вид.

Что говорить, замысел интересен, он лежит в русле идей Николая Кузанского, согласно которым в  бесконечности противоположности совпадают, имеет место complicatio oppositorum et eorum coincidentia (свертывание противоположностей и их совпадение), где свертывание рассматривается как естественная способность ума сводить сложное и пространное в простое и компактное, благодаря чему, собственно, и возможна коммуникация. Однако до сего времени предложение Рашевского не нашло поддержки среди специалистов.

Подводя итог, можно сказать, что после знакомства с книгой читатель в конце концов ощущает своего рода раскрепощение мышления, по-новому, глубже видит, острее ощущает, смелее воображает, объемнее мыслит. Прежнее плоское, одно-, двух-, и даже трехмерное пространство постепенно начинает замещаться первыми робкими и пусть пока только формальными  схемами четырехмерного пространства мысли.

В результате нелегкого чтения этой интересной работы я окончательно убедился, что лучшей формальной интерпретацией четырехмерности для философии выступает построение дисциплинарной квадратной матрицы четвертого порядка, на основе таблицы связей исчисления высказываний, приведенной С.А.Яновской еще в 1947 г. в приложении к знаменитой работе Д.Гильберта и В.Аккермана «Основы теоретической логики». Здесь каждая четырехмерная комбинация нулей и единиц двузначного исчисления (вместо используемых Яновской значений «л» и «и») мало того, что уже имеет формальную логическую интерпретацию, но при необходимости может быть интерпретирована и более содержательно.

Необходимо сказать и еще об одном. В результате внедрения нового образовательного стандарта средней школы имеются серьезные опасения того, что мы получим поколение полуграмотных людей, как считают специалисты образования и педагоги. Так что работа В.А.Успенского с ее настораживающим заголовком сегодня становится актуальной и с социальной точки зрения, предлагает веские аргументы в пользу расширения и углубления математического образования.